基于發(fā)生教學(xué)法的導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)

呂亞男 呂端良

摘要：本文基于發(fā)生教學(xué)法，遵循導(dǎo)數(shù)概念的創(chuàng)造和應(yīng)用的最自然的方式，從概念的導(dǎo)入、概念的剖析、概念的應(yīng)用三個(gè)維度進(jìn)行導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：發(fā)生教學(xué)法;導(dǎo)數(shù);教學(xué)設(shè)計(jì)

概念是構(gòu)筑學(xué)科理論體系的基礎(chǔ)。不同的學(xué)科，對(duì)概念有不同的定義表述，但其共性是對(duì)事物本質(zhì)屬性的概括。對(duì)于數(shù)學(xué)概念而言，則是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性，是人們通過實(shí)踐，從研究對(duì)象的許多屬性中，抽象出其本質(zhì)屬性概括而成的[1]。

高等數(shù)學(xué)作為一門古老而經(jīng)典的數(shù)學(xué)學(xué)科，其大多數(shù)概念既具有高度的抽象性和概括性，也蘊(yùn)含著豐富的歷史文化和哲學(xué)思想。毋庸置疑，教好高等數(shù)學(xué)要從重視概念教學(xué)開始。只有概念的根基扎實(shí)，才有可能建造數(shù)學(xué)學(xué)科的萬丈高樓。

本文以導(dǎo)數(shù)概念為例，研究發(fā)生教學(xué)法在導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)中的運(yùn)用，給出基于發(fā)生教學(xué)法的導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)。

一、發(fā)生教學(xué)法概述

1.發(fā)生教學(xué)法的基本原理

發(fā)生教學(xué)法的原理是學(xué)科教學(xué)的方法應(yīng)當(dāng)盡可能地基于以科學(xué)知識(shí)內(nèi)在的自然的方式和方法。也就是教學(xué)必須跟隨知識(shí)發(fā)展的順序[1]。對(duì)于高等數(shù)學(xué)的概念教學(xué)而言，就是要遵從數(shù)學(xué)概念創(chuàng)造和應(yīng)用的最自然的方式。通俗來說，就是講解概念時(shí)要讓學(xué)生見證概念的起源。但是也要注意，見證起源不是簡(jiǎn)單的照搬歷史，而是教師在研究數(shù)學(xué)史、通曉學(xué)科發(fā)展歷程的基礎(chǔ)上，進(jìn)行數(shù)學(xué)概念再創(chuàng)造的過程。

2.基于發(fā)生教學(xué)法的教學(xué)框架構(gòu)建

基于發(fā)生教學(xué)法的基本原理，在進(jìn)行概念教學(xué)框架構(gòu)建時(shí)，首先對(duì)所講授的概念進(jìn)行數(shù)學(xué)史分析、數(shù)學(xué)邏輯分析、學(xué)生的心理認(rèn)知分析以及概念的應(yīng)用領(lǐng)域分析;然后依據(jù)概念教學(xué)的必要性、直觀性、關(guān)聯(lián)性、應(yīng)用性原則，從概念的起源、幾何特征、新舊知識(shí)的關(guān)聯(lián)以及應(yīng)用等方面，考慮如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解;最后按照Why-What-How（簡(jiǎn)稱WWH）三個(gè)步驟進(jìn)行具體的教學(xué)設(shè)計(jì)。

二、導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）導(dǎo)數(shù)概念的導(dǎo)入，注重講清“為什么”（Why）

在國(guó)內(nèi)大部分高等數(shù)學(xué)的教材中，關(guān)于導(dǎo)數(shù)概念的引入，一般采用通過兩個(gè)不同領(lǐng)域的引例抽象出導(dǎo)數(shù)的定義的模式。比如，在同濟(jì)版的高數(shù)教材[2]中，借助物理學(xué)引例“變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度”和幾何學(xué)引例“曲線的切線”;在某些經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的教材[3]中，再結(jié)合經(jīng)濟(jì)學(xué)引例“產(chǎn)品總成本的變化率”等。雖然教材中的引例是從歷史或者應(yīng)用的角度提煉而來的，但是仍然缺乏對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的起源的介紹。所以，要讓學(xué)生徹底明白為什么要研究導(dǎo)數(shù)，需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，進(jìn)行導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)史分析，從歷史發(fā)展的角度，帶領(lǐng)學(xué)生見證導(dǎo)數(shù)的起源。

在介紹導(dǎo)數(shù)的起源時(shí)，可以從講清楚引例從何而來入手。比如，為什么要研究“曲線的切線”？這是由于17世紀(jì)30年代，光學(xué)透鏡的設(shè)計(jì)以及炮彈彈道軌跡的計(jì)算，促使數(shù)學(xué)家們對(duì)曲線的切線進(jìn)行研究[4]。而物理學(xué)引例“變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度”則是源于機(jī)器大工業(yè)以及力學(xué)的發(fā)展。借助多媒體課件，向?qū)W生展示17世紀(jì)工業(yè)技術(shù)發(fā)展的圖片、科學(xué)進(jìn)步的文獻(xiàn)資料等，會(huì)進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念學(xué)習(xí)的興趣。

（二）導(dǎo)數(shù)概念的剖析，注重多維度分析“是什么”（What）

在經(jīng)過為什么研究導(dǎo)數(shù)的激發(fā)后，引導(dǎo)學(xué)生積極探索，讓學(xué)生明白導(dǎo)數(shù)的概念是如何建立起來的。

1.從宏觀上介紹導(dǎo)數(shù)的發(fā)展歷程。

導(dǎo)數(shù)的發(fā)展歷程其實(shí)就是微積分的發(fā)展史。從費(fèi)馬使用的無窮小量，到牛頓的流術(shù)數(shù)以及萊布尼茨引入增量 ，再到由“無窮小”引發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，最后到19世紀(jì)嚴(yán)格的極限理論（以柯西為代表）和嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論（以威爾斯特拉斯為代表）的創(chuàng)立，使得微積分的基礎(chǔ)得以穩(wěn)固，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)得以化解。從宏觀上讓學(xué)生了解導(dǎo)數(shù)在微分學(xué)中的地位，并且從中可以得到重要的啟示：微積分的邏輯順序是“實(shí)數(shù)理論→極限理論→微積分”，但是其歷史發(fā)展順序卻恰恰相反[5]。

2.從微觀角度剖析導(dǎo)數(shù)的概念。

從教材中的引例入手，引導(dǎo)學(xué)生探索引例的分析方法，尋找不同問題的共性，然后抽象概括得到導(dǎo)數(shù)的定義——函數(shù)值增量與自變量增量的比值，當(dāng)自變量增量趨于零時(shí)的極限。而導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是通過極限的概念對(duì)函數(shù)進(jìn)行局部的線性逼近，即一個(gè)變量隨某個(gè)變量變化時(shí)的變化率[4]。

3.從直觀上進(jìn)一步闡述導(dǎo)數(shù)的概念。

從形式化角度給出導(dǎo)數(shù)的概念之后，學(xué)生可能仍未深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念。因此，再?gòu)膶?dǎo)數(shù)的幾何意義入手，從直觀上進(jìn)一步闡述導(dǎo)數(shù)是什么。從直觀上來講，函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)曲線在該店出的切線斜率;函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)就是函數(shù)曲線在該點(diǎn)有切線;而函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，就是函數(shù)曲線在該區(qū)間上的每一點(diǎn)都有切線。進(jìn)一步，有了切線斜率和切點(diǎn)，就可以利用點(diǎn)斜式方程寫出曲線的切線方程，進(jìn)而得到法線方程。

4.從關(guān)聯(lián)性角度剖析導(dǎo)數(shù)的概念。

導(dǎo)數(shù)作為通過極限定義的一個(gè)新的概念，引導(dǎo)學(xué)生思考：導(dǎo)數(shù)與極限、連續(xù)等概念之間的關(guān)系。導(dǎo)數(shù)涉及到增量比值的極限，連續(xù)也涉及到增量的極限，那導(dǎo)數(shù)與連續(xù)之間是什么關(guān)系呢？一方面從定義角度推導(dǎo)可導(dǎo)必連續(xù)，再舉反例說明連續(xù)未必可導(dǎo)。另一方面從幾何圖像上來展示連續(xù)和可導(dǎo)的關(guān)系。

分析了可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系之后，結(jié)合之前已經(jīng)建立的連續(xù)與極限的關(guān)系，自然可以得到“可導(dǎo)連續(xù)極限存在”，但是反之均不成立。通過類比歸納，可以進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解。

（三）導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用，注重講清如何用（How）

多維度的剖析了導(dǎo)數(shù)的概念之后，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探討導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。第一，可以從定義入手得到計(jì)算導(dǎo)數(shù)的第一種方法——定義法，并且可以借助左右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判定分段函數(shù)分界點(diǎn)的可導(dǎo)性。第二，可以將導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與學(xué)生的專業(yè)知識(shí)相結(jié)合。比如，對(duì)于經(jīng)管類學(xué)生，可以將導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)到邊際分析、彈性分析中。第三，可將導(dǎo)數(shù)與生活實(shí)際相結(jié)合。比如，高速公路測(cè)速器實(shí)際上檢測(cè)的就是瞬時(shí)速度，復(fù)興號(hào)動(dòng)車組的最高時(shí)速也是指瞬時(shí)速度。通過導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解，最終內(nèi)化為自身對(duì)概念的圖式。

三、結(jié)束語(yǔ)

教學(xué)實(shí)踐證明，發(fā)生教學(xué)法在導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)過程中收到良好效果。由此以點(diǎn)帶面，可以將發(fā)生教學(xué)法運(yùn)用到高等數(shù)學(xué)課程的其它核心概念，以及線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等課程的概念教學(xué)中。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱琳.基于發(fā)生教學(xué)法的線性空間概念的教學(xué)研究[D].上海：華東師范大學(xué)理工學(xué)院數(shù)學(xué)系，2017：11-12.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)（第六版）上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2007：77-79.

[3]顧靜相.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2014：56-58.

[4]杜瑞芝.數(shù)學(xué)史辭典新編[M].濟(jì)南：山東教育出版社，2017：591.

[5]顧沛.數(shù)學(xué)文化[M].北京：高等教育出版社，2008：122- 128.

作者簡(jiǎn)介：

呂亞男，1982年1月，女，漢族，山東淄博人，碩士，講師，研究方向：高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

呂端良，山東科技大學(xué)基礎(chǔ)課部。

基金項(xiàng)目：本文系山東科技大學(xué)優(yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊(duì)支持計(jì)劃（編號(hào)：JXTD20180509）;2018群星計(jì)劃教育教學(xué)改革項(xiàng)目（編號(hào)：QX2018M91）。