從“一枝獨秀”走向“春色滿園”

陳紅麗

摘要：在新的教育理念紛紛出爐的形勢下，許多一線教師不太有底氣說“數學模型”，害怕染上機械記憶。在我國，數學建模在大學開展得較多，在小學階段研究數學建模是否可行？為此，結合對數學模型教學的認識，在分類、替換的教學中進行理性思考。

關鍵詞：數學模型;分類;替換;抽象

為了一定的目的對現實原型做抽象、簡化后，采用形式化的數學符號和語言所表述出來的數學結構就是“數學模型”，它是數學符號、數學式子及數量關系對現實原型簡化的本質的描述。

一、分類中形成數學模型

小學數學的教學內容本身就是一種數學模型。如數有自然數、分數等之分，自然數是表述有限集合“數數”過程的數學模型，圖形有三角形、四邊形等之分……數學模型在分類中逐步形成。

在第二次教學二年級上冊“角的初步認識”時，筆者針對數角情況進行了分類學習，從而形成了三種數學模型，有效地突破了教學難點。

【教學片段1】

師呈現材料（圖1）：這里有幾個角？

圖1

師：如果覺得太多了的話，也可以試著先將這10幅圖分分類，不僅要會分，還要能說出理由。

師指著第一類問道：你為什么將它們分為一類？它們的形狀怎么樣？

生：像拼音字母“t”的大寫“T”，其中一個是“T”，其他三個是變了形的“T”。

師：我們為這類情況取個名字。（師生討論后定為“T字型”）

師：他說得很有道理，誰來評評第二類圖形？

生：這類里面，第一個圖形就是“十”，第二個是變了形的“十”。

師：我們也為這類情況取個名字。（十字型）

師：這類情況的名字呢？（爪字型）

師：現在請你數數它們的角，你有什么發現嗎？

生：“T字型”角的數量是2個，“十字型”角的數量是4個，“爪字型”角的數量是3個。

呈現第二組材料（圖2）：

圖2

師：? ? ? 有幾個角？

生：上面和下面都是T字型，都有2個角，還有四周的4個角，共8個角。

師：? ? ? ? ? 有幾個角？

生：左邊爪字型3個，右邊爪字型3個，還有上下各1個，共8個角。

生：? ? ? 中有4個十字型，四周還有4個，一共是8個角。

……

數學模型 T字型

（? ? ? ? ） 爪字型

（? ? ? ? ?） 十字型

（? ? ? ? ?）

解決實際

數角結果 4+4=8（個） 3+3+2=8（個） 4+4=8（個）

在經歷分類的過程之后，形成了三種情況。正是因為有了分類，出現了數學模型。如圖3所示。

圖1：

圖3

從圖3的框架中，我們可以看出構建數學模型的基本步驟：對數學模型進行推理、演算，得到了獨屬于這類數學模型的解，再運用“數學模型的解”解決實際問題，得到“實際問題的解”。

二、替換中形成數學模型

教材上的例子，許多都能從一個例子抽象出數學模型。這一過程不僅能通過分類實現，也能通過替換形成模型。下面是筆者“加法的意義”的教學片段。

【教學片段2】

第一次教學：

師：請同學們認真觀察這兩幅圖，說一說從圖上你看到了什么？

師：你們能根據這幅圖提一個數學問題嗎？

師：很好！你知道怎樣列式嗎？板書：1+2=3。

接著教學加號及其讀法。

本節課，筆者從插圖入手，引導學生提出數學問題，根據問題列式計算，線條似乎明確而合乎情理。但當變換另一個加法情景時，有部分學生卻茫然了。此時，筆者陷入了沉思：如何讓孩子們在不同的加法情境中理解和解決問題？于是，在第二次教學時，筆者做出了修改。

【教學片段3】

第二次教學：

師：請同學們認真觀察這兩幅圖，說一說從圖上你看到了什么？

師：你們能根據這幅圖提一個數學問題嗎？

師：你知道怎樣列式嗎？

師：大家能不能用小棒代替小鴿子，將這一過程擺一擺呢？

（教師指導學生擺小棒，并請一位學生將小棒擺在對應的鴿子圖片的下面，形成鴿子與小棒一一對應的教學材料）

師：原來有1只紅色鴿子，后來又來了2只藍色鴿子，現在共有3只鴿子;原來有1根小棒，后來又擺了兩根小棒，現在共有3根小棒。這兩種情況都可以用同一個算式1+2=3來表示。

師：誰來說一說這里的1、2表示什么？3又表示什么呢？

師：在生活中還有許多這樣的數學問題，1+2=3除了可以表示鴿子、小棒，還可以表示什么呢？請同桌互相說一說。

師：除了能擺小棒表示1+2=3，還能擺其他的圖形嗎？

生：還可以擺這個圓片，或畫小圓點。

形成板書：? ?+? ? ? ? ? =

+? ? ? ? ? =

1? +? ? 2? ? =? ? ? ?3

上述兩個教學片段，所體現出來的教學著力點是不一樣的。第一次教學，屬于“就例題論例題”;第二次教學，滲透了初步的數學模型思想，將原有的“鴿子”例題，替換成了關于“人”“書本”的題目。這種替換并不是簡單、無目的地進行，而是為了建立數學模型。關于“鴿子”“人”“書本”甚至更多的事例，其實都是同一個數學模型，其模型的根源就是“1+2=3”。

三、異化中摒棄“固化”的數學模型

也有人說，數學思維方式的固定會導致限制學生的思維。比如，學習倍數問題：“小紅有9支鉛筆，小白的鉛筆數量是小紅的3倍，小白有幾支鉛筆？”老師總結：看到“倍”想到“乘法”。于是，當看到“小紅有9支鉛筆，小紅的鉛筆數量是小白的鉛筆數量的3倍，小白有幾支鉛筆”時，學生又先想到用“乘法”解決，結果錯了。這種異化的現象，是數學模型固化的后果。所以要有數學模型，但是不要“類型化”。

心中有“樹”，教學才有“術”。如果說數學模型是“一枝獨秀”，那么這枝“獨秀”在一線教師們的努力下，必將會“春色滿園”。

（責任編輯：韓曉潔）