以圓為馬，量數學尺寸

陳慶紅

摘要：從浙江麗水市近九年中考數學中所出的關于圓的試題出發，分析試題的類型和出題方式，并結合課標與考試要求考查主要考點。展示了學生的典型解法，簡析學生暴露出來的問題：一是學生對圓的相關知識只是停留在表面，沒有理解滲透;二是對問題的解決比較單一，不能舉一反三。簡析上述要素，旨在幫助教師明確教學方向，提高教學效果。

關鍵詞：圓;試題研究;典型問題

教師是教學的引導者，數學教師如何呈現教學內容，如何設計證明方式、展示解題過程，關系到學生對知識的掌握和能力的培養。教師在設計課堂教學時應該吃透課標與考試要求，掌握對學生知識和能力所提出的教學目標;通過分析考試題目，尤其是中考這類大型考試中相關題型的呈現和變化，結合平常習題訓練或考試中學生的典型解法，及時調整教學策略，推動學生對數學知識的理解和把握，使學生理清解題思路，提高解題能力，培養數學思維。

一、“圓”來如此——概況分析

（一）圓的出題類型和出題方式

從分值來看，在近九年麗水數學中考試卷中，圓的試題分值一直比較穩定。除了2011年出了兩道解答題，分值達到了23分外，其余年份圓的試題分值一直保持在12分左右。可見，圓這一塊知識點屬于麗水中考常考的內容，學生應該重點把握。

從題目設置來講，近九年來，麗水中考數學圓的知識每年都有一道選擇或填空題、一道解答題。總體來看，考試所涉及的知識點較為常規，并且強調數學的實用性。如2010年選擇題第9題、2013年第8題、2018年第16題、2019年第14題分別以小丑帽子、排水管、弓箭和簡易測傾儀設立解題背景，引導學生在生活情境中調動所學的關于圓的知識解決問題。填空題和選擇題所考查的圓的知識比較明確，學生只需要從具體情境中分辨出考查的知識點，就能解決問題。解答題的知識點難度略有提升，但仍處于中檔水平。比如，解答題的常考知識點有切線性質、垂徑定理、等腰三角形的性質和判定、圓周角推論。除了以上常考知識，2013年解答題考查了弧長計算，2014年考查了中位線定理，2015年考查了弓形面積的計算以及互余性質，2017年、2018年考查了勾股定理。考查的知識點的翻新和變化，一定程度上給學生帶來了解題困難，但在能力層級上仍然是穩定不變的：要求學生綜合運用學過的性質和定理來解題，考查學生的數學運用能力。

（二）圓的主要考點

1.課標分析。根據2011年課程標準中提到的關于圓的課程內容，在九上學段，學生接觸到的概念有圓、弧、弦、圓心角、圓周角、三角形的內心和外心等。學生需要掌握這些概念及其性質，了解它們之間的相互關系。學生需要學習的定理有垂徑定理、圓周角定理及其推論。此外，學生還要進行弧長、扇形面積的計算;了解正多邊形及正多邊形與圓的關系。在九下學段，學生要把握切線的性質和切線長的定理，理解切線與過切點的半徑的關系。

《義務教育數學課程標準（2011年）》還將“探索并證明垂徑定理”“探索切線長定理”列在了選學內容里，這主要是出于控制考試難度的考慮，同時又能為學有余力的學生提供進一步學習的空間。

九上和九下分別要求學生掌握點與圓、直線與圓的位置關系，比較典型地體現了“形”與“數”的內在聯系，滲透了數形思想。

2.考試要求分析。仔細的教師會發現，考綱中的要求更細致地對課程標準內容做了逐條解釋。歷年試題在考查學生掌握的圓的基本知識時，也考查學生運用這些知識的技能和能力。以課標中“知道三角形的內心和外心”這一條為例，考試要求提出了更為詳細的方向，不僅要求學生知道三角形內心、外心的性質，在能力方面還要求學生能夠根據兩者的性質解決簡單的幾何問題。由此看來，考試要求將課程內容與課程標準中提出的知識技能、數學思考、問題解決等目標結合起來，充分體現了課程標準的理念以及中考試題的基礎性和創新性。

3.對題分析。從近九年麗水中考數學試題看，關于圓的解答題緊扣課程標準的課程內容，在形式上、結構上、知識點和難度上都相對穩定。比如，小問題的數量為兩到三個，讓學生從題目的已知條件出發，逐步推理得出結論。這些試題以課程標準中圓的課程內容為基礎，結合考試要求中對學生能力的具體要求，讓學生在掌握這些知識點的基礎上，運用圓的相關定理，通過分析、綜合、推理等數學思維方法解決問題。由此可知，關于圓的解答題不是單純考查學生對知識點的記憶，而是知識與技能的雙重考量。

在保持穩定的同時，近九年麗水中考數學關于圓的解答題也穩中有變。從九年級試題可以看出來，將不同的知識點融合起來，在考查學生對基本知識的掌握情況的同時，也更加注重考查學生的數學應用能力，對學生解題思路的清晰性提出了更高要求。

二、“圓”木求魚——典型問題

學生在考試中出現的問題主要有兩方面，一是基于圓的基礎知識的求解，學生存在證明或計算思路不清、對于概念和定理的適用對象也把握得不夠清楚的問題;二是學生證明的方法比較單一，無法找出更加簡便的方法來。

（一）基于圓的基礎知識的求解，學生存在證明或計算思路不清的狀況。

如圖1，AB是以BC為直徑的半圓O的切線，D為半圓上一點，AD= AB，AD，BC的延長線相交于點E。

求證：AD是半圓O的切線。

下面是學生典型解法：

解：∵切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等。

又∵AD= AB，且D在圓上

∴AD是半圓O的切線

該題的正確解題思路是分別連接OD、AO作兩條輔助線，證明△AOB和△AOD全等，然后說明∠ADO為90度，證明OD⊥AD，利用切線性質證明AD是半圓O的切線。

稍微分析一下學生典型解法，就能發現，學生沒有真正弄清楚切線長的定理。切線長的定理要成立的條件是過圓外一點所畫的兩條線已經是圓的切線，雖然結合過圓外一點只能作兩條切線這一理由可以推出求證的結論，但這畢竟不是題上所要考查的內容。由典型解法可以看出，學生對于切線長定理的適用條件和范圍把握不夠充分，思考題目時也不能迅速地想到應該使用切線性質求證。由此看來，學生對于數學基礎知識的把握仍然不夠牢靠，雖然能夠記住概念、性質和定理，但對于這些知識的適用條件沒有深刻的體會，在具體情境下充分暴露了應用短板。

（二）學生對于需要結合圓與不規則形狀面積計算的題容易找不到思路

如圖2，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作⊙O的切線DF，交AC于點F。

（1）（略）

（2）若⊙O的半徑為4，∠CDF=22.5°，求陰影部分的面積。

第二個小問，很多學生容易找不算陰影面積的思路。也有學生在作了過OE的輔助線后，找到了正確思路，嘗試通過利用扇形AOE的面積去減△AOE得出剩余的陰影部分的面積。通過互余性質證到∠A為45度，進而求出△AOE的面積，但在最后關頭卻弄混了扇形的弧長和面積公式，從而算出錯誤的答案。這一題暴露了學生在打開思路方面存在問題，不擅于從整體把握局部，從局部走向整體，在分析和綜合能力方面有欠缺;學生容易弄混相似的公式，區分不開公式適用的對象。

三、“圓”原非圓——教學啟示

（一）基礎知識的教學

對圓的基本性質和定理的掌握是解題的前提。這種掌握不只在于知識的理解和記憶方面，也在于知識的靈活運用方面。在今后的教學中，教師在講授基本性質和定理時，就應該以知識的實際應用為目標和導向，做好學情預測，強調知識的適用和隱含條件。此外，在遇到容易弄混的知識點時，要著重強調出來，幫助學生區分。

（二）解題思路的探索

每種類型的數學題都可以用到不同的思維方式。在圓的證明試題中，主要可以運用分析、綜合等思維方法，在具體解題過程中，合情推理和演繹推理也是重要的解題思維。教師在講解分析這一類型的題目時，應該更加重視思考步驟的呈現，以及思考方法的點撥，逐漸培養起學生在解題過程中審視自己在哪一步用到什么數學思想方法的習慣;教學生大膽猜測、合情推理題目所考查的知識點，根據已知條件、圖形、結論或者假設的考查知識點作出演繹推理，在試錯與糾正的良性循環中培養學生靈活的解題思維，做到“一題多證，一題多變”;幫助學生理清解題思路，使證明過程及其表述符合邏輯，清晰而有條理。

總而言之，麗水中考數學中關于圓的試題體現了對學生知識和技能的雙重考查。在今后的教學中，教師要更加注重以課標和考試要求為導向，以試題研究為突破口，調整教學策略和手段，全面提高學生對圓的基礎知識的掌握和運用知識探究問題的能力。

參考文獻：

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（責任編輯：韓曉潔）