立體幾何中添加輔助線的基本方法

袁越

摘 要：數學并不是抽象的，而是一門具有方法論意義的學科。其中，立體幾何是數學中的重難點，考察的是我們的空間想象能力、邏輯思維能力。解決立體幾何也是具有一定方法的，輔助線的添加就是一種簡單快速的方法。本文在概述立體幾何涵義的基礎上，通過實例對添加輔助線的基本思路和方法進行分析，以幫助我們更好利用輔助線解決立體幾何的問題。

關鍵詞：立體幾何;輔助線;基本思路;解題方法

一、立體幾何的概念

立體幾何是平面幾何的升華，是在平面幾何的基礎上對空間中點、線、面關系的進一步研究。在數學上，立體幾何就是三維歐氏空間幾何的傳統名稱。與平面幾何不同，立體幾何實質上研究的是生活的空間。立體幾何是數學中的重要組成部分，而且在高考中出現的頻率越來越高，因此必須要掌握這個知識點。

二、立體幾何中添加輔助線的基本方法

立體幾何對空間想象能力、邏輯思維能力、轉化能力等的要求是非常高的，剛開始接觸時，我們往往無從下手。但數學是一門具有方法論意義的學科，立體幾何也不例外，只要我們掌握住它的基本規律，就可以將立體問題平面化，找到解題的關鍵。其中，添加輔助線是解決立體幾何問題的一個簡單快捷的方法。那么，輔助線應該如何添加呢？主要思路一是要與定義、定理中的點、線、面、體相結合，如果缺少要補充完整;二是要把已知條件和未知條件統一在一個圖形中，比如統一在一個四邊形中，就可以用四邊形的知識去解題。接下來，我們通過實例具體討論下添加輔助線的基本方法。

1.添加平行線

在立體幾何中添加平行線，就是為了將不在一起的線統一到一個圖形中，構造出我們熟悉的三角形、四邊形、菱形等，再利用三角形等圖形的性質進行求解，得出所需的量。另外，我們也可以直接利用三角形、梯形的中位線作出平行線，更簡單快捷。

例1：如圖一所示，底面ABC是正三角形，AB⊥面ABC，EA=AB=2DC=2m，設F是EB的中點。

求證：DF//平面ABC

求直線AD與平面AEB所成角的正弦值

通過觀察，我們發現平面ABC中的已知直線中不存在和DF平行的直線，那么我們就需要構造新的直線，即添加平行線來求解。

解：（1）過F作FH//EA交AB于H，連接HC。∵EA⊥面ABC，DC⊥面ABC，∴EA//DC，又∵FH//EA，∴FH//DC。而F是EB的中點，所以FH=AE=DC，那么四邊形CDFH就是平行四邊形，∴DF//HC。又HC平面ABC，DF平面ABC，∴DF//平面ABC

（2）由已知條件知道ABC是正三角形，H是AB的中點，∴CH⊥AB。∵EA⊥面ABC，CH平面ABC，∴CH⊥EA，EAAB=A，EA、AB面EAB，∴CH⊥面EAB，∵DF//CH，DF⊥面EAB，那么AF就是DA在面EAB上的射影，所以∠DAF就是直線AD與平面EAB所成的角。在RT△AFD中，AF=m，AD=m，DF=m，。所以直線AD與平面AEB所成角的正弦值是。

2.添加垂線

立體幾何中的許多定義、定理都離不開垂線，比如點、線、面到面的距離、線面垂直、面面垂直等性質定理，又或者是正棱錐、球的性質等。所以，我們想要運用這些性質、定理，就需要把沒有的垂線添加上。

例2：如圖二所示，在三棱錐O-ABC中，三條棱AO、OB、OC兩兩相互垂直，而且OA=OB=OC，M是AB邊的中點，那么OM與平面ABC所成的角是多少？

根據三棱錐的性質，我們需要添加面ABC的垂線OD，這樣就不僅構造出了正三棱錐里面的RT△ODM和RT△ODC，而且構成了OM與平面ABC所成的角。

解：如圖二所示，根據題意設OA=m，那么AB=BC=AC=m，，O點在底面的射影D是底面△ABC的中心，m。又有DM=MC=m，那么OM與平面ABC所成的角的正弦值是，二面角的大小就是arc。

3.向中心對稱圖形對稱中心添加連線

對稱中心是整個平面圖形的中心位置，可以與周圍的點、線、面等都聯系起來。向中心對稱圖形對稱中心添加連線，常見的是平行四邊形、正方形、矩形的對角線連接;圓中圓心的連接;球體中球心的連接。

例3：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，E是AC的中點，PE⊥平面ABCD，PE=2，M是PD的中點。

證明：PB//平面ACM;

證明：AD⊥平面PAC;

求直線AM與平面ABCD所成的角。

根據題意，連接平行四邊形的對角線，得到中位線，以證明線線平行得到線面平行。

解：（1）連接BD、ME，在平行四邊形ABCD中，∵E是AC的中點，∴E也是Bd的中點。又M是PD的中點，∴PB//ME。因為PB平面ACM，EM平面ACM，∴PB//平面ACM。

（2）由已知條件知道∠ADC=45°，AD=AC=1，所以∠DAC=90°，那么AD⊥AC。又PE⊥平面ABCD，AD⊥平面ABCD，所以PE⊥AD，有ACPE=E，所以AD⊥平面PAC。

（3）設DE的中點是N，連接MN、AN。∵M是PD的中點，∴MN//PE，且MN=PE=1。再由PE⊥平面ABCD，得到MN⊥平面ABCD。∴∠MAN就是直線MN與平面ABCD所成的角。

4.連中位線

中位線是立體幾何輔助線中常用的也是非常重要的線，主要是指三角形的中位線或梯形的中位線。中位線是兩個邊中點組成的線，而且平行于底邊是底邊長的一半。利用中位線，我們可以把已知的量和未知的量都放在同一個三角形中，簡化了解題的過程，使解題思路更直觀明了。

例4：在正四面體S-ABC中，D是BC的中點，求異面直線AD與SC所成角的余弦值。

根據異面直線所成角的定義可以知道，要想求得異面直線的角就要將直線平移變成兩條相交的直線。

解：設SB的中點是E，連接ED、EA。∵在△SBC中，D是BC的中點，E是SB的中點，根據中位線的性質得到DE//SC，∴∠ADE就是異面直線AD與SC所成的角。再設正四面體的棱長是m，那么AD=m，AE=m，DE=m，

∴cos∠ADE=，即異面直線AD與SC所成角的余弦值是。

三、結語

立體幾何在高中數學中占據著不容置疑的比重，對我們的空間想象能力、邏輯思維能力都有很高的要求。立體幾何有其自身的解決方法，比如添加輔助線，通過添加平行線、垂線、向中心對稱圖形對稱中心添加連線、連中位線等就可以幫助我們找到解答立體幾何的關鍵。當然，我們也要在認真審題后，確定最合適的思路再進行求解，這樣才能事半功倍。

參考文獻

[1]龔萬璽.立體幾何問題中輔助線的構造思路探究[J]，高中數理化，2017（2）：8.

[2]方海國.談中位線的構造方法[J]，理科考試研究，2017，24（4）：6-8.