玩智取“王位” 探極簡模型

蔣銘國

在全國教育科學“十三五”教育部規劃課題“益智課堂與思考力培養的實踐研究”江西子課題調研期間，一老師給大家執教了一節展示課——《智取王位》。受《智取王位》展示課與各位專家點評的啟發，我對智取王位產生了興趣，進行了一些深入研究，讓我聆聽到了孩子們在且玩且樂中思維力拔節成長的聲音。

一、基礎，搭建“通向夢想”的階梯

智取王位是一項益智器具游戲。在一排木槽孔內依次排有十一顆棋子，最后一顆為紅色。游戲規則是：兩人輪流取棋子，每次取1～2顆。誰能取得最后一顆紅棋子——“王位”，即獲勝。乍一看似乎與運氣有關，事實上，內含玄機，有規律可循。課堂上不妨引導學生由少到多，循序漸進，探究其中蘊含的規律。

首先引導學生明白在本游戲當中，游戲規則是：①兩人輪流取棋子;②每次取1～2顆;③取到最后一顆獲勝。

其次引領學生積極參與游戲，深刻體驗，反復琢磨，探究內情。于是我帶領孩子，由少到多，循序漸進，邊玩邊解邊思。不難發現，當棋子為一顆或者是兩顆的時候，先取者，必定獲勝。當棋子為三顆的時候后取者必勝。其中策略有二：①當先取者取一顆的時候，后取者取兩顆獲勝，即1+2型;②當先取者取兩顆的時候，后取者取一顆獲勝，即2+1型。這時讓學生反復動手操作并體驗：當只有一顆或兩顆棋子時，先取棋子者必勝;當有三顆棋子時，后取棋子者必勝。這是本游戲的核心與根基，是衍生后續一切情況的本源。只有掌握通透，才能通向“必勝”的夢想。

二、進階，邁入“舍我其誰”的境界

當孩子們達成深刻感悟后，追加一顆旗子。發問：當有四顆旗子的時候，先取者獲勝還是后取者獲勝？讓學生實踐操作，在操作中體驗并得出結論：先取者取一顆后，剩下三顆，此時后取者即本賽次中的先取者，必勝。關鍵是必須先取一顆，才能保證必勝。取兩顆則輸。同理，當有五顆棋子的時候，可以得出結論：先取者取兩顆棋子后，剩下三顆，此時后取者即本賽次中的先取者，必勝。關鍵是必須先取兩顆，才能保證必勝。取一顆則輸。這兩次策略的區別就是先取者第一次取一顆還是兩顆。事實上目的是一致的，都是剩下三顆后由對方取棋子，自己坐等勝利。剩下三顆棋子時誰贏誰輸，依據前期所獲結論一目了然。經過這一實踐，可以得出結論：當有四顆或者五顆棋子時，先取棋子者必勝。緊接著試驗，當有六顆棋子時的情形。讓學生分組反復操作，在操作中感悟到，后取者必勝。策略同樣有二：①當先取者取一顆的時候，后取者取兩顆，剩下三顆，重復三顆時的策略，必勝;②當先取者取兩顆的時候，后取者取一顆，剩下三顆，重復三顆時的策略，必勝。依次類推，循序漸進，然后進行驗證與感悟。孩子們一旦感悟通透，便可在智取王位游戲中，從容應戰，達到“舍我其誰”的境界。

三、探本，領略“九九歸一”的神奇

當孩子們在多次的游戲中，達到熟稔的程度后，可以引領他們探尋游戲的本質，領略世界上普遍存在的“九九歸一”的神奇。經過探究，孩子們發現本游戲的核心就是三顆旗子時的取子策略問題。即本游戲有一個本質的極簡模型——被3整除問題。當除數為3時，所有的非零自然數被分為余1數、余2數、整除數。要想獲勝需設法必取余1數，絕不取整除數，余2數為調劑數。例如：當一共有11顆棋子時，知“內情”方作一運算：11÷3=3……2。若己方先取，則第一次取兩顆，第11顆與第10顆。接下來，對方取一顆第9顆，己方則取兩顆第8顆與第7顆;對方取兩顆第9顆與第8顆，己方則取一顆第7顆。本環節核心是讓對方取第9顆，己方取第7顆，至于第8顆作為調劑用。同理，第6顆、第5顆、第4顆，作為一個環節，仿照前一環節進行。最后，第3顆、第2顆、第1顆，也是如此，己方則會最終取得第1顆即“王位”獲勝。若對方先取，則在取棋子過程中伺機取得第10顆，無果再伺機取第7顆，再無果再伺機取第4顆。一旦成功便會獲勝，否則一直無果便會敗北。

四、創變，開啟“洞察世界”的天眼

當孩子們把前面游戲玩到了游刃有余的程度后，可以再引領孩子們嘗試“創變”，開啟“洞察世界”的天眼。游戲規則是人定的，一旦改變了游戲規則，游戲策略則需要重新探索。在孩子們掌握了前面所探索的規律，洞悉了“三個一環”的極簡模型之后，我帶領著孩子們開啟了更高層級的探索與研究。假如規定每次可以取一顆、兩顆或三顆，怎樣才能必勝呢？此時可以引導學生采取同樣的探究方法與策略進行探索。當棋子數為1～3顆時，先取者必勝，當四顆棋子時，后取者必勝。策略有：1+3型，2+2型，3+1型。當五顆棋子時，先取者必勝，策略有：1+1+3型，1+2+2型，1+3+1型。事實上就是先取者先取一顆棋子后，轉變為四顆棋子時后取者（即本賽次先取者）必勝。同理，當六顆棋子時，先取者必勝，策略有：2+1+3型，2+2+2型，2+3+1型。事實上就是先取者先取兩顆后，轉變為四顆旗子時后取者（即本賽次先取者）必勝。當七顆棋子時，先取者必勝，策略有：3+1+3型，3+2+2型，3+3+1型。事實上就是先取者先取三顆后，轉變為四顆旗子時后取者（即本賽次先取者）必勝。當八顆棋子時，后取者必勝，策略是按照四顆棋子時策略運用兩次。

通過以上內容的專題學習與探究，學生獲得了快樂與快感，思維力得到了切實的訓練與培養。在探究中孩子們體驗了重復、遞歸、迭代思維，增強了對數學模型的認識，了解了數學模型建立的方法，品味了探尋極簡模型的快樂與幸福，提高了對數學學習的興趣，加強了對益智課堂的熱愛，激發了對遨游數學知識海洋的內驅力。假以時日，孩子們定會在“益智課堂”這一智慧花園中綻放最美的自己，成全最美的生命，迎接最精彩的未來。