“數(shù)形結合”培養(yǎng)初中生思維能力

李國堅

數(shù)形結合思想是數(shù)學基本思想之一，是學生思考和解答問題的基本方法，亦是初中數(shù)學教學的重點和難點。數(shù)形結合思想貫穿于整個初中數(shù)學教學，在教學過程中，教師要有意滲透這一思想，讓學生學會以數(shù)化形、以形變數(shù)、形數(shù)互變，在應用數(shù)形結合方法解決問題的同時，感受、理解并逐步掌握和運用數(shù)形結合思想。在實際生活中，往往遇到的是具體的形象的“形”，而在數(shù)學中就是一般的抽象的“數(shù)”，讓學生將數(shù)形結合起來，不僅是數(shù)學學習的必由之路，也是鍛煉提高學生應用能力的必經(jīng)之路。

以數(shù)化形抽象問題具體化

利用數(shù)形結合思想，以數(shù)化形，將抽象復雜的問題簡單化、具體化，幫助學生輕松找到解答方法，極大地提高了教學效率。抽象性是數(shù)學學科最基本的特性之一，它使得數(shù)學語言更加簡潔、準確，同時也使數(shù)學問題更加深奧，使學生感到數(shù)學異常難學。數(shù)學問題中抽象的數(shù)量關系使得學生無法準確理順和把握，而借助數(shù)學圖形就能夠直觀、形象地展現(xiàn)。如利用數(shù)軸能清晰比較出有理數(shù)的大小。在處理方程問題時，一般是將方程的根看作函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標。如此以來，學生能夠畫出函數(shù)圖象也就確定了方程的解。這樣不僅簡化了問題本身，使學生解題速度得到提高，更為重要的是極大地提高了學生解題的準確率。

利用以數(shù)化形能夠幫助學生快速、準確地理解抽象問題，如美國第20任總統(tǒng)詹姆斯·加菲爾德用3個直角三角形非常巧妙地證明了勾股定理。即用3個直角三角形巧妙組成一個直角梯形，利用3個三角形的面積之和等于梯形面積，從而得出“直角三角形的兩條直角邊平方和等于斜邊的平方”。借助以數(shù)化形，定理的證明就非常簡單，學生也容易掌握接受，達到良好的教學效果。

以形變數(shù)確定具體數(shù)量

圖形能夠更加直觀地展示各數(shù)量之間的關系，但很多時候要求解出具體數(shù)值，則需要借助代數(shù)計算，否則就很難確定具體的數(shù)量。如下列圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的，其中第（1）個圖形中一共有3個菱形，第（2）個圖形中一共有7個菱形，第（3）個圖形中一共有13個菱形，按此規(guī)律排下去，第（9）個圖形中菱形的個數(shù)為多少？這個題目如果按照常規(guī)做法，一步一步把對應的菱形畫出，難度很大，學生也不易理解。如果我們將圖形化為數(shù)字求解，那么答案就直接算出來了：第（1）個圖形中一共有3個菱形，3=12+2;第（2）個圖形中一共有7個菱形，7=22+3;第（3）個圖形中一共有13個菱形，13=32+4……，第（n）個圖形中菱形個數(shù)為：n2+n+1，所以第（9）個圖形中一共有92+9+1=91個菱形。從圖形上看起來求解難的問題，利用代數(shù)計算很簡單;所以，圖化為數(shù)不僅解決了求值問題，更讓學生挖掘出了圖形中的隱含條件，理清數(shù)量之間的關系，將復雜問題簡單化。

在初中數(shù)學教學中，將圖形轉化為數(shù)字極大地鍛煉和培養(yǎng)了學生的抽象思維，其實，很多公式的推導都是利用這一方法。進入中學階段，幾何問題難度越來越大，需要學生有較強的數(shù)形轉化能力以解決復雜的幾何問題。從“形”化為“數(shù)”，是具體問題一般化了，也就是讓學生掌握了正確的解題思想和解題方法，加深學生對知識的理解，提高了他們的數(shù)學素養(yǎng)。

形數(shù)互變培養(yǎng)學生數(shù)學思維

在解答實際問題，尤其是綜合題目時，我們需要用到的不是單純“以形變數(shù)”或“以數(shù)化形”，而是要它們相互轉化。也就是說題目中有的數(shù)要化為形幫助學生清晰確定其數(shù)量關系，而有些形又要借助代數(shù)計算才能得到求解，要根據(jù)具體題目合理地選用“以形變數(shù)”和“以數(shù)化形”方法，并將其有效結合，形數(shù)互化，最終準確求解。如在學習平面直角坐標系及函數(shù)時，教師就要給學生留下遇到函數(shù)問題就會想起數(shù)形結合的印記，適當建立平面直角坐標系，完美地詮釋數(shù)形的結合。將函數(shù)引入平面直角坐標系之后，那么就可以利用代數(shù)方法解決幾何問題了。總結起來，實數(shù)、代數(shù)式、函數(shù)、不等式集中代表了初中階段的“數(shù)”，而直線（包含數(shù)軸）、角、圓、拋物線等則集中代表了初中階段的“形”。在教學中、學生解答問題的過程中，教師都要積極灌輸數(shù)形結合的思想，通過數(shù)形結合使學生的思維更加開闊，積極探尋出數(shù)形關系，找到問題解答方法。華羅庚說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休。”數(shù)形結合思想之所以在解答問題時應用廣泛，在于具有極大的靈活性與創(chuàng)造性，所以其不是固定的，教師交給學生的是思想方法，而學生要根據(jù)實際問題恰當靈活選擇，學生多練習多使用，教師多引導，那么學生的數(shù)學思維能力就能得到相應的鍛煉和提升。

結束語

數(shù)形結合思想在初中數(shù)學中應用廣泛，以數(shù)化形、以形變數(shù)、形數(shù)互變能幫助學生快速準確解決復雜問題。在實際教學中，教師將數(shù)形結合思想滲透在概念的定義和講解中，滲透于具體題目的解答之中，使其貫穿整個初中的數(shù)學學習，如遇思維困境，要及時改變思考問題、解決問題的方法，用“形”啟迪“數(shù)”，以“數(shù)”界定“形”，形數(shù)互化培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

（作者單位：廣東省開平市月山初級中學）