從典型錯例中談初中數學運算核心素養的培養

劉俊健

數學運算是數學活動的基本形式，也是學習數學的基礎。運算能力是《義務教育課程標準（2011年版）》提出的十個核心概念之一。培養學生的運算核心素養，發展學生的運算能力，不僅是學生學好數學的基礎，也是學生終身學習和發展的需要。在教學實踐中，筆者發現，有些學生雖然懂得運算方法，但卻經常出現運算錯誤。在每次的大小考試中，學生由于運算方面的問題出錯丟分的情況屢見不鮮。本文針對學生運算中出現的一些典型錯例，提出在培養學生數學運算核心素養方面的一些教學實踐和想法。

一、打好有理數運算的基礎，培養良好的數感

有理數運算可以說是代數運算乃至整個初中數學的基礎。如果對有理數運算沒有很好的理解和掌握，在今后整式、分式、方程等一系列數學問題的學習上都會遇到很大的困難。在有理數的運算中，要注意處理好以下幾個問題。

第一，符號問題。正確理解符號法則，區分性質符號和運算符號，是處理符號問題的關鍵。

錯例1? ?計算：-3-6×（-2）=-3-12=-15

這道題的關鍵點在于把“-6”中的“-”看成是性質符號還是運算符號的問題。若看作性質符號，則可得到以下過程：-3-6×（-2）=-3+（-6）×（-2）=-3+12=9;若看作運算符號，則可得到以下過程：-3-6×（-2）=-3-（-12）=-3+12=9。筆者認為按前者看作性質符號，同時直接確定更為簡潔。即-3-6×（-2）=-3+6×2=-3+12=9.

學生對算式的理解程度不同，會產生不同的解法。例如對于“-3-2”的計算，有的學生會得出“-1”的錯誤結果，有的學生會根據減法法則化為“-3+（-2）”再得出-5的答案。還有些學生能直接看作-3與-2的和，得出-5的答案。最后一種處理方法對符號理解最為深刻，體現了學生良好的數感，這是對今后認識多項式的項及合并同類項的基礎。

第二，運算順序問題。有理數混合運算的順序學生都很熟悉，但在實際解題中，往往會受到某些因素的影響，造成運算順序錯誤。

錯例2? ?計算：

在這個錯例中，學生沒有注意到先算乘方，受“負負得正”習慣的影響，先化簡了底數的符號。

第三，乘方運算問題。乘方運算是四則運算的補充，本質上是乘法運算。在乘方運算中，要注意強調三點：（1）根據乘方的概念求冪;（2）明確乘方運算的對象，即底數是什么;（3）注意乘方的優先運算順序。

錯例3? ?計算：

錯例4? ?計算：

錯例3中對乘方概念不清，不懂得轉化乘法算式求解。錯例4把-32看成了（-3）2，說明對負數的整體性認識不足。

有理數的運算能讓學生建立起良好的數感，減少運算錯誤，是提高學生運算素養的關鍵。

二、牢固掌握運算的依據，加深對算法和算理的理解

數學中的一些概念、法則、公式是進行運算的依據，加深對基本概念、法則、公式的理解，是正確運算的前提。如果對運算的依據理解不夠深刻，只是機械地背誦、模仿，很容易產生混亂。

第一，加強對公式的理解。公式是運算方法、技巧的總結。要牢固掌握公式，就要理解公式的產生、推導過程，明白公式的原理，應用的條件和方法，否則就容易產生亂公式，自編公式等錯誤。

錯例 5? ?計算：（x+2）2-x（x+1）=x2+4-x2-x=4-x

錯例6? ?分解因式：x2-9=（x-3）2

以上兩個錯例都是很常見的對乘法公式的運用錯誤。這是對積的乘方公式（ab）n≠anbn的錯誤遷移。要減少這種錯誤，可以對比兩個公式的推導過程，同時用具體的數字來說明（a+b）2≠a2+b2，如（1+2）2≠12+22。

第二，加深對算理的認識。在數式運算及方程變形中，許多學生只是單純地記住相關的算法和步驟，卻忽略了對算理的理解。數學運算也是一種推理，是根據定義、性質等推導結果的過程。正確的運算需要對算理有透徹的理解，如果學生不理解算理，只是機械記住算法和步驟，很容易在運算中誤用法則，并且對不合邏輯的錯誤結果也渾然不覺。

錯例7? ?計算：

解：原式

=2x-（x-2）

=x+2

錯例8? ?把函數y=2x2-12x-12配成y=a（x-h）2+k的形式。

解：y=2x2-12x-12=x2-6x-6=x2-6x+32-32-6=（x-3）2-15

在錯例7的分式計算中，學生一開始就進行了去分母的操作。這些學生記住的是解分式方程去分母的步驟，并沒有理解去分母的依據是等式的性質，應用的條件是在方程的同解變形中。而分式的計算只是代數式的恒等變形，不涉及到等號兩邊的操作。這種錯誤在很多含有分母的計算中都會出現，錯例8中的函數解析式的變形也是常出現的約掉系數公約數的類似錯誤。

三、培養整體思想，提高整體運算的能力

在運算中，很多時候需要把負數、分數、多項式等看作一個整體。為了構造出相同的整體，或把整體代入運算，都需要合理添加括號。在數學運算過程中，有些局部的運算結果要作為一個整體進入下一步的運算，這個整體就必須加上括號，否則就失去原來的運算意義。以下錯例，學生缺乏整體思想，很容易漏掉括號，教師應加強調。

錯例9? ?計算：3（x-2）2-（x+3）（x-3）-2x（x+6）

解：原式=3（x2-4x+4）-x2-9-2x2-12x

=3x2-12x+12-x2-9-2x2-12x

= -24x+3

公式的應用也要求學生有很好的整體思想。例如對（x-1）2-（2x+3）2進行因式分解，缺乏整體思想的學生將不懂得如何下手，或者在運用平方差公式時容易漏掉括號。加強整體思想的培養，能更好地理解整體換元，整體代入等方法，提高學生的整體運算的能力。

四、加強解題方法的指導，培養良好的解題習慣

良好的數學運算素養，應該是在清晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題。這個過程包括理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程度，求得運算結果等。因此，教師要注意培養學生正確的解題思維方式，規范解題的步驟和格式，養成良好的解題習慣。

第一，養成良好的審題習慣。正確的審題，既要細心看清楚每一個條件，還要注意區分相關概念，挖掘隱含條件，弄清已知條件和所求問題之間的聯系等。在審題時要明確解題的模式和方向，弄清運算對象。例如“? ? ?的平方根是_______”一題，在審題時要注意平方根與算術平方根的區別，同時要注意所求的對象是? ? ? ?而不是16，學生不注意細心審題的話，很容易產生“±4”“4”“2”等錯誤結果。

第二，步驟要清晰，書寫要工整。在運算中，要明確運算的步驟，每一步解決什么問題，哪些運算可以同時進行，哪些需要分步計算。有些學生為了追求速度，喜歡合并或省略一些步驟，很容易造成運算錯誤。另外，有此學生的書寫比較馬虎，字跡比較潦草，所寫的數學、符號等分辨不清，也容易造成運算的錯誤。因此，在教學中，教師應要求學生嚴格按照步驟解題，書寫工整，格式規范。

第三，善于檢驗結果的正確性。對于檢驗，學生往往理解為再看一遍或重新演算一次，其實這種驗算方法是沒有多大意義的。有效的檢驗應該是運用學過的知識從不同的角度對結果真假或合理性做出一個判斷。例如因式分解可以利用乘法運算驗算，方程的解可以代入驗算等。同時，要做到關鍵步驟回頭看的計算習慣，否則一步出錯，后面全部跟著出錯。善于驗證答案的合理性，不僅可以及時發現錯誤，還在一定程度上體現出解題者對數學問題的理解程度和思維的嚴密性。

數學運算滲透在數學學習的每一個環節，也是學習其它理科的基礎。在教學中培養和提高學生的運算素養，不僅能有效地減少和避免運算中的錯誤，還能提高學生思維的靈活性和嚴密性，為學生的終身學習打下良好的基礎。