多視角命題剖析，高考數(shù)列復(fù)習(xí)的思考

王秋曼

【摘要】 ?數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要的地位，也是高考的必考內(nèi)容及重點(diǎn)考查的范圍，它始終處在知識(shí)的交匯點(diǎn)上，與函數(shù)、方程、不等式等緊密聯(lián)系，在高考中占有突出的地位。往年一般的題型是兩個(gè)小題（選擇、填空題）或一個(gè)大題（解答題）。其近幾年的高考試題中數(shù)列平均分值約占總分的13%～16%，事實(shí)上，數(shù)列已經(jīng)成了數(shù)學(xué)高考的“晴雨表”，數(shù)學(xué)命題的“試驗(yàn)田”。

【關(guān)鍵詞】 ?等差數(shù)列 等比數(shù)列 首項(xiàng) 公差 公比 通項(xiàng)公式 前n項(xiàng)和

【中圖分類號(hào)】 ?G633.6 ? ? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 ?A ? 【文章編號(hào)】 ?1992-7711（2019）13-096-01

一、數(shù)列的教學(xué)目標(biāo)歷來在《課表》的要求都是：1、理解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系，理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義，并會(huì)利用通項(xiàng)公式寫出任意一項(xiàng)。2、理解等差、等比數(shù)列的概念;掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，能運(yùn)用公式解決一些簡單問題。能在具體的問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題。3、了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系等等。

二、近幾年高考中數(shù)列熱門考點(diǎn)展示：1、等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算;2、等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用;3、數(shù)列的證明和求數(shù)列通項(xiàng)公式;4、數(shù)列求和;5、數(shù)列與其他知識(shí)交匯考查等。

三、近幾年高考中數(shù)列的題型歸納與分析：

高考中對(duì)等差（等比）數(shù)列的考查，主、客觀題均有所體現(xiàn)，一般以等差、等比數(shù)列的定義或以通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式為基礎(chǔ)考點(diǎn)，常結(jié)合數(shù)列遞推公式進(jìn)行命題，主要考查學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力以及計(jì)算能力等，中低檔題占多數(shù)。

高考中對(duì)數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用的考查題型，主、客觀題均會(huì)出現(xiàn)，難度中等，數(shù)列主觀題常與函數(shù)、不等式等知識(shí)點(diǎn)交會(huì)，綜合考查函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，考查內(nèi)容主要是：以等差、等比數(shù)列為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)、求和;利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)的和;根據(jù)題設(shè)信息，研究有關(guān)數(shù)列的性質(zhì)，該部分的重點(diǎn)是等差、等比數(shù)列的基本公式和性質(zhì)的理解和應(yīng)用，該部分的難點(diǎn)是數(shù)列與其他知識(shí)點(diǎn)的交會(huì)問題，如：數(shù)列中的給定信息題、證明題、恒成立問題等。

四、基于上述數(shù)列的教學(xué)目標(biāo)、熱門考點(diǎn)及常考題型，下面先對(duì)2019年全國Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)第18題數(shù)列進(jìn)行剖析：

題目：記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S9=-a5.

（1）若a3=4，求{an}的通項(xiàng)公式;

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍。

分析：（1）首項(xiàng)設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，根據(jù)題的條件，建立關(guān)于a1和d的方程組，求得a1和d的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得結(jié)果;

（2）根據(jù)題意有a5=0，根據(jù)a1>0，可知d<0，根據(jù)Sn>an，得到關(guān)于n的不等式，從而求得結(jié)果。

解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，

根據(jù)題意有9a1+■d=-（a1+4d）a1+2d=4，解得a1=8d=-2，

則an=8+（n-1）×（-2）=-2n+10，

所以等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-2n+10;

（2）由條件S9=-a5，得9a5=-a5，即a5=0，

因?yàn)閍1>0，所以d<0，并且有a5=a1+4d=0，所以有a1=-4d，

由Sn≥an得na1+■d≥a1+（n-1）d，整理得（n2-9n）d≥（2n-10）d，

因?yàn)閐<0，所以有n2-9n≤2n-10，即n2-11n+10≤0，

解得1≤n≤10，

所以n的取值范圍是：1≤n≤10（n∈N*）

1.考查核心：通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式列方程求解。該題第一小題是根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出基本元a1，d的方程，解出a1，d，從而求得通項(xiàng)公式an;第二小題是根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，列出基本元a1，d的方程，化簡后整體代入不等式求解得n的范圍。本題考查方程與轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，屬于簡單題。

2.考題比較：對(duì)比近十年全國卷的數(shù)列考題，大多數(shù)是告訴某些數(shù)列的等差或等比，利用基本元解方程或者方程組求通項(xiàng)或者求和等。2019年1卷的數(shù)列題非常“中規(guī)中矩”，屬于基礎(chǔ)簡單題，相對(duì)之前的數(shù)列考題有較大的變化;從考查知識(shí)核心來看，延續(xù)了2018、2017年的考法，都有利用已知條件化簡，再列方程求解，只是2019年更加直白淺顯些。而數(shù)列考題在2018年1卷、2017年1卷和2014年2卷中出現(xiàn)過證明某些數(shù)列是等差或等比數(shù)列。

3.復(fù)習(xí)建議：緊抓“基本元”a1，d或a1，q這一核心考點(diǎn)，挖掘考題的潛在功能，真正發(fā)揮其備考效能，如一題多變、一題多解或多題歸一，進(jìn)行升華整理;再比如變換不同視角反思命題等，基于考題、研究考題、提煉考題，提高對(duì)考題的認(rèn)知水平，進(jìn)而大幅提高復(fù)習(xí)的有效性。通過近十年的高考數(shù)列題考法，考題越來越簡單，注重知識(shí)基礎(chǔ)，這些考題我們都能在教科書上找到它們的影子。啟發(fā)我們在高考復(fù)習(xí)中首先要發(fā)揮課本的功能性作用，使考生對(duì)數(shù)列知識(shí)的復(fù)習(xí)能做到有的放矢，其次對(duì)基本的知識(shí)及基本的數(shù)列模型做適當(dāng)?shù)囊辏砸罂忌鷳?yīng)該透過現(xiàn)象看本質(zhì)，從而駕輕就熟地解決問題。

[ 參 ?考 ?文 ?獻(xiàn) ]

[1]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，（2017年版），人民教育出版社.

[2]汪秉彝，呂傳漢.創(chuàng)新與中學(xué)數(shù)學(xué)教育[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018.

[3]數(shù)學(xué)通訊2018年9月，主辦華中師范大學(xué)，湖北省數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，武漢數(shù)學(xué)學(xué)會(huì).

[4]王學(xué)賢.名師授課錄，中學(xué)數(shù)學(xué)高中版，上海教育出版社.