高中數學思想方法之分類討論的研究

夏耀健

高中的數學學習，除要求學生學習數學知識外，還要培養數學的思想方法和意識，它不僅是數學的靈魂和精髓，還是學生對數學內容的本質認識和對所使用的方法和規律的理性認識。同時它可以有效地促進學生的深度學習，教師產生有深度的課堂氛圍。

常見的數學思想方法：分類討論思想、數形結合思想、化歸和轉化思想等。重視對這些思想方法的滲透運用，不僅有利于學生領悟數學的真諦，學會用數學思想思考問題，掌握解決數學問題的途徑、策略，還能提高學生的核心素養、分析問題和解決問題的能力。

其中分類討論思想是歷年高考的必考內容，它不僅是高考的重點與熱點，而且是高考的難點。每年在中檔題或高檔題中甚至在低檔題中都設置分類討論的題目，因為通過分類討論的考查，可以推斷學生思維的嚴謹性和分析問題、解決問題的能力。所以本文重點研究了分類討論思想在高中數學常見題型中的應用，以便學生更加容易去理解和運用這種思想方法。

一、分類討論的原則和一般步驟

1.分類討論的原則

分類討論思想是當問題的對象不能進行統一研究時，就需要對研究的對象按某個標準進行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結論，最終集合各類結果得到整個問題的解答。實質上分類討論就是“化整為零，各個擊破，再集零為整”的數學思想。

科學的分類滿足三個原則：（1）分類應按同一個標準;（2）分類應是完備的;（3）分類應是純粹的。

2.分類討論的一般步驟

（1）確定討論的對象和所要討論的取值范圍;（2）合理分類：不重復、不遺漏、劃分討論只能按統一標準;（3）討論應逐級進行，不能越級，逐類、逐段討論;（4）最后歸納并得出結論。切記，能不分類的要盡量避免，決不無原則地去分類討論，增加計算量。

二、分類討論思想在高中數學

常見題型中的應用

1.根據數學的概念來確定分類標準

由數學概念而引起的分類討論，概念分類整合即利用數學中的基本概念對研究對象進行分類，如集合的定義、絕對值的定義、不等式的轉化、實系數一元二次方程的根的定義、直線的傾斜角等，然后分別對每類問題進行解決。解決此問題可以分解為三個步驟：分類轉化、依次求解、匯總結論。匯總結論就是對分類討論的結果進行整合，這個步驟很重要。

【例題】已知集合A={1.3.? ? ?}，

B={1，m}，A∪B=A， 則m=（? ? ? ）

A.0或? ? ? ? B.0或3

C.1或? ? ? ? D.1或3

思路剖析：在集合的運算中要注意元素的無序性和互異性，元素與集合、集合與集合之間關系的分類討論。

解：A∪B=A? ?B? A? ∴m=? ? ?或m=3

m=0或1或3，經驗m=1（舍）故選B

2.根據數學中的定理、公式和性質來確定分類標準

由性質、定理、公式的限制而引起的分類討論：如函數的單調性、基本不等式、無窮等比數列各項和、等比數列{an}的前n項和公式等數學中的某些公式、定理、性質在不同條件下有不同的結論，在運用它們時，就要分類討論，分類的依據是公式中的條件。

3.根據運算的需要確定分類標準

由數學運算要求而引起的分類討論：如除法運算中除數不為零，偶次方根為非負數，對數運算中真數與底數的要求，指數運算中底數的要求，不等式中兩邊同乘以一個正數、負數，三角函數的定義域等。

【例題】（2011上海高考）已知函數f（x）=a·2x+b·3x，其中常數a，b滿足ab≠0。

（1）若ab>0，判斷函數f（x）的單調性;（2）若ab<0，求f（x+1）>f（x）時x的取值范圍。

思路剖析：此題的第1小題運用函數的單調性，對a，b同號及異號進行討論，而第2小題則是在運算的過程中需要對a是否大于零進行討論。

解：（1）當a>0，b>0，則f（x）為單調遞增，當a<0，b<0，則單調遞減。

（2）f（x+1）-f（x）=a·2x+b·3x>0

當a<0，b>0時，

當a>0，b<0時，

4.根據圖形的位置、形狀分類整合

圖形的位置、形狀分類整合是指由幾何圖形的不確定性而引起的分類討論，如一次函數、二次函數的圖象，冪函數、指數函數的圖象，對數函數的圖象等，這種方法也適用于幾何圖形中點、線、面的位置關系的研究以及解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關系。

5.根據含參數問題的分類討論

某些含有參數的問題，由于參數的取值不同會導致所得的結果不同，需對參數進行討論，或者由于對不同的參數值要運用不同的求解或證明方法等。如含參數的方程、不等式、函數等。解決這類問題需要合理確定分類標準，討論中做到不重不漏，結論整合要周全。

例1.設奇函數f（x）的定義域為R，當x>0時，f（x）=? ? ? ? ? ? （這里m為正常數）。

若f（x）≤m-2對一切x≤0成立，則m的取值范圍為? ? ? ?。

思路剖析：利用函數奇偶性對稱性的性質以及基本不等式，可以求出當x<0的函數f（x）的最大值，但是當x=0時必須要分開討論，否則就遺漏了m的另一部分的范圍，故分類討論一定要周全，不重不漏。

解：當x>0時，當且僅當x=m等號成立，

因為f（x）是奇函數，圖形關于原點對稱，所以當x<0時，f（x）max=1-2m

又因為當x=0時，f（0）=0

∴

三、簡化和避免分類討論的技巧

分類討論的思想是一種重要的解題策略，對于培養學生思維的嚴密性、嚴謹性和靈活性以及提高學生分析問題和解決問題的能力無疑具有較大的幫助。但它不是萬能的。分類討論思想解題的實質是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的思維策略，但同時還要注意充分挖掘求解問題中潛在的特殊性和簡單性，盡可能消除“討論因素”，靈活地采用相對應的解題策略，適當作一些“技術處理”，簡化或避免分類討論，往往能給解題帶來事半功倍之效，避免分類討論常見的解題策略有：直接回避、變更主元、整體考慮、反客為主等等。

1.通過逆向思維避免分類討論

當問題不易直接求解，需要更多的討論時，可考慮它的反面，通過對其反面情況的分析研究，使問題得到解決。

【例題】在報名的8名男生和5名女生中，選取6人參加志愿者活動，要求男、女生都有，則不同的選取方式的種數為 1688 （結果用數值表示）。

思路剖析：對于排列組合或概率的題目，可以通過分類討論去解決比較復雜的問題。但是此題若直接做要分5類，反而麻煩，所以考慮它的對立面，用間接法，通過逆向思考就變得簡單了。

解：

2.含參數問題可構造函數或分離參數簡化分類討論

3.結合數形結合的思想避免或簡化分類討論

總之，分類討論是數學中一種重要的思想方法，也是重要的解題策略。由于很多數學問題很難用統一的方法去解決，若將其劃分為若干個局部問題，每個局部問題就顯得容易解決了，特別是含參數字母的問題，也是近幾年來高考重點考查的熱點問題之一，需要逐類分別加以討論，探求出各自的結果，最后歸納出命題的結論，以達到化難為易、化繁為簡、解決問題的目的。