“方程的根與函數的零點”教學反思

劉客

【摘要】 ?方程的根與函數的零點是高中課程標準新增的內容，表面上看，這一內容的教學并不困難，有的學生認為也沒什么可學的，有的老師也在議論這節怎么教，怎么考…今天，兩堂新授課后，與部分學生進行了交流，都認為能聽懂，但是，通過作業檢測，效果明顯不好。總的來說，教學效果都不甚理想，暴露出了一些共同的問題，看來具有一定的代表性。下面就兩堂課共同存在的問題，談一談需要妥善處理其中的一些問題。

【關鍵詞】 ?方程 函數 教學反思

【中圖分類號】 ?G633.6 ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】 ?A ? 【文章編號】 ?1992-7711（2019）19-165-01

一、如何引導學生將復雜的問題簡單化，并學會從已有認知結構出發由特殊到一般地思考問題

教材設置函數的零點這一內容的目的，就是為了體現函數的應用，為用二分法求方程的近似解奠定基礎。所以，教學一開始就應該從學生用已學方法不能求解的方程出發展開討論，然后引導學生體會其中的思想方法。例如，可以像前面一樣先提出：方程lnx+2x-6=0是否有實根？為什么？

二、怎樣突出數形結合的思想方法

數形結合的思想方法幾乎貫穿于“基本初等函數I”一章的始終，學生通過前面的學習，已基本形成數形結合的思想方法，所以本節教學應該以培養學生主動運用數形結合的思想方法去分析問題為目的。但是，在兩堂課中，教師卻沒有留給學生主動運用數形結合思想方法的空間。

在建立方程的根與函數的零點的關系時，函數圖象起到了關鍵的橋梁作用，充分體現了它與方程的根以及函數零點之間的數形結合的關系。在這種能夠體現思想方法的關鍵地方，教師要舍得花時間，要讓學生由方程自覺地聯想到相應的函數，主動地建立方程的根與函數圖象間的關系，提升數形結合思想方法的層次，增強函數應用的意識。

三、如何從直觀到抽象

教材是通過由直觀到抽象的過程，才得到判斷函數f（x）在（a，b）內有零點的一種條件。如何讓學生從直觀自然地到抽象，有下面幾個教學難點需要處理：

1.如何引導學生用f（a）*f（b）<0來說明函數f（x）在（a，b）內有零點

教材是先從函數圖象出發，讓學生通過觀察函數f（x）的圖象在（a，b）內是否與x軸有交點，來認識函數f（x）在（a，b）內是否有零點。這是一個直觀認識的過程，對學生來說并不困難。然后再讓學生認識，f（a）*f（b）<0則函數f（x）的圖象在（a，b）內與x軸有交點。不過，這卻是一個由直觀到抽象的飛躍，對學生來說是有困難的。教學的關鍵在于，如何引導學生由函數f（x）的圖象穿過x軸在（a，b）的部分，聯想到f（a）*f（b）<0。為此，我們不妨可以通過下列問題來啟發學生：

（1）我們看到，當函數f（x）的圖象穿過x軸時，函數f（x）的圖象就與x軸產生了交點。如果不作出函數f（x）的圖象，你又如何判斷函數f（x）的圖象與x軸有交點？

（2）函數f（x）的圖象穿過x軸這是幾何現象，那么如何用代數形式來描述呢？

（3）函數f（x）的圖象穿過x軸其實就是穿過與x軸的交點周圍的部分，比如（a，b）。在區間（a，b）內，如何用代數形式來描述呢？

（4）如果函數f（x）的圖象與x軸的交點為（c，0），那么函數f（x）分別在區間（a，c）和區間（c，b）上的值各有什么特點？這對我們用代數形式進行描述有何幫助？

（5）函數f（x）在區間（a，b）上有f（a）f（b）<0，那么函數f（x）在區間（a，b）上是否一定存在零點，請舉例說明。

函數f（x）在區間（a，b）上有f（a）f（b）<0，且有零點，那么一定只有一個嗎？請舉例說明。

（7）函數值在區間（a，b）上連續且存在零點，則它在區間（a，b）端點的函數值一定有f（a）f（b）<0嗎？

通過這些問題的解決，就能獲得函數零點存在條件：函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）f（b）<0，那么函數y=f（x）在區間[a，b]上有零點。即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c就是方程f（c）=0的根。還要明確定理只能判定零點的存在性，不能判斷零點的個數。

2.如何引導學生判斷函數f（x）在（a，b）內的零點個數

要判斷函數f（x）在（a，b）內的零點個數，可先觀察函數f（x）的圖象在（a，b）內與x軸有幾個交點，再進行證明。這同樣是一個從直觀到抽象的過程，教學需要處理好下列兩個問題：

（1）如何引導學生說明函數在某個區間內只有一個零點

當觀察到函數f（x）的圖象在（a，b）內與x軸的交點個數后，可以在（a，b）內分別選取每個交點周圍的一個區間，然后說明函數分別在各個區間只有一個零點。這樣，就將判斷函數f（x）在（a，b）內的零點個數轉化為判斷函數在各個區間內分別只有一個零點。

（2）要證明函數在某個區間內只有一個零點需要一個循序漸進的過程

證明函數在某個區間內只有一個零點，是一個從圖象的直觀到抽象的代數證明的理性思維過程。從學生現有的知識積累來看，目前教學應立足從圖象直觀來認識，對于易于用函數單調性定義證明函數單調性的函數，可要求學生進行代數證明。待學生學習了函數的導數之后，再統一要求學生對所有的函數都進行代數證明。

方程的根與函數的零點是高中課程標準新增的內容，第一次教學就要取得成功的確不易。看來，像這些中學新增內容的教學，需要一個不斷實踐以及實踐后的反思的過程，在實踐與反思的過程中，不僅要妥善解決上述問題，還要不斷地發現和解決新的問題，這樣，教學效果才會逐步得到改善。