二次函數頂點坐標的兩種巧妙求法

張曉英

二次函數y=ax+bx+c的頂點坐標是二次函數的最重要的性質，二次函數的最值、增減性、以及它是由二次函數y=ax如何平移得到的，都與它的頂點坐標密切相關。而二次函數的頂點坐標的兩種求法都有它明顯的缺點：配方法需要按照步驟規范寫出來，公式法運算又很繁瑣，下面介紹兩種簡單方法。

一、由一般式求二次函數的頂點坐標

（1）方法：在用公式法求二次函數y=ax+bx+c的頂點坐標，時，它的縱坐標運算非常麻煩，尤其是實際問題求最值，數據較大極易出錯，這里介紹一種能簡便運算的方法：①將二次函數y=ax+bx+c的二次項去掉，一次項除以2，常數項不變得到一個新函數y=bx+c;②由公式法求出頂點的橫坐標;③把頂點的橫坐標代入y=bx+c即為頂點的縱坐標，這樣就大大減少了運算，提高了準確率。

（2）原理：當時，y=b·（）+c=即為頂點的縱坐標

（3）典例：二次函數y=-2x+340x-12000的最大值為▁▁▁。

解析：1）、新函數為：y=170x-12000;2）、頂點的橫坐標為85;3）當x=85時，代入新函數y=170×85-12000=2450.

二、由交點式求二次函數的頂點坐標

（1）方法：在二次函數的交點式y=a（x-x）（x-x）中，拋物線與x軸的兩交點為（x，0），（x，0），求頂點坐標時，橫坐標為縱坐標為橫坐標與x的差的平方乘以-a.

（2）原理：在二次函數的交點式y=a（x-x）（x-x）中，拋物線與x軸的兩交點為（x，0），（x，0）關于對稱軸對稱，所以兩交點到對稱軸距離相等，所以當x=時，x-x₁與x-x互為相反數，所以頂點的縱坐標為橫坐標與x的差的平方乘以-a.

3、應用：在二次函數的實際問題中，面積問題和利潤問題的解析式常常是交點式的變式y=（x-x）（ax-ax）或y=（mx-mx）（nx-nx的形式，這樣把頂點的橫坐標求出來后，縱坐標為橫坐標與x的差的平方再乘以二次項系數的相反數。

4、典例：某商店從廠家以每件21元的價格購進一批商品，該商店可以自行定價。若每件商品售價為x元，則可賣出商品（350-10x）件，那么賣出商品所獲利潤y的最大值為▁▁▁元。解析：y=（x-21）（350-10x），拋物線與x軸的兩交點為（21，0）、（35，0），頂點的橫坐標為28，所以最大利潤為（28-21）×10=490。

一點淺見，僅供讀者參考。