是什么？教什么？怎么教？

劉正松

【摘? ?要】隨著教育教學理論的不斷更新，各種教學實驗、模式層出不窮，讓人目不暇接，這在有意無意間混淆了一線教師的視聽。通過對一道相關習題的教學分析，可以讓教師進一步明確理想的教學理應回歸簡單的道理。面對不同的教學內容，應當深究其本質是什么、應該教什么以及如何實施教學這三個問題，如此，教師才有底氣走進課堂。

【關鍵詞】折線統計圖;函數圖象;鋪墊;演示;變式

這是蘇教版小學數學教材五年級下冊第116頁上的一道習題（見圖1）。

在學生認識了折線統計圖并會用折線統計圖直觀地表示數據后，類似的習題在各種教輔材料中出鏡率很高。從學生居高不下的錯誤率可以看出這絕對可以算是一道難題，可類似的問題是第二學段學生認識“折線統計圖”的實際應用嗎？學生認知的難點在哪里？既然教材中出現了，又該如何教學？這些問題一直縈繞在筆者腦海中。

是什么？

雖然一直對這題心存疑慮，但并未追根究底。無意間在中學教材中看到這樣一題（見圖2）。

這是蘇教版中學數學教材八年級上冊第139-140頁第6章“一次函數”中的一道例題。這樣一比較，我們不難看出，其實我們五年級研究的“小明去圖書館的問題”就是八年級函數的有關內容。那么，折線統計圖（如圖3）和函數圖象（如圖4）究竟有什么聯系與區別呢？

一、折線統計圖與函數圖象的聯系

1.兩者圖象相似

折線統計圖和函數圖象都是在平面直角坐標系上描點、連線，畫出相應的折線圖，兩者圖象相似，容易產生誤導，有人誤認為折線統計圖與函數圖象是一回事。

2.兩者都可以表示兩個量之間的對應關系

折線統計圖表示的數據與相應的時間相對應，統計數據隨著統計時間的變化而變化，兩者存在一種對應關系。

函數圖象是以函數的自變量的值為橫坐標，以相應的函數值為縱坐標的點所組成的圖形。自變量變化，函數都有唯一確定的值與之對應。如汽車以100km/h的速度勻速行駛，汽車行駛的時間為t（h），汽車行駛的路程為y（km）。那么y與t的函數關系式是y=100t，它的圖象如圖4所示。路程一直隨著時間的變化而變化。

二、折線統計圖與函數圖象的區別

1.兩者知識領域不同

折線統計圖是第二學段“統計與概率”領域的知識，它把統計數據隨時間變化的情況描點連線，進而便于判斷數據的變化趨勢。

函數圖象是第三學段“數與代數”領域的知識，它是平面直角坐標系上的圖形，用來直觀地研究函數的性質及解決問題。

2.兩者圖象上點的意義不同

折線統計圖上的點是根據調查得到的數據描點連線，這些描出的點是真實存在的點，表示統計對象的一對對變量的真實取值，而這些點之間的連線上的任意一點不一定表示統計對象的真實數據，只表示一種模擬的、可能的數據，因為這兩個時刻之間的一段時間沒有任何調查的真實數據。雖然數據作為一種變量，可能是連續的，如身高作為一種變量是連續的，但統計的身高數據往往是離散的，一般情況下對一個人不需要連續不斷地測身高，隔一段時間測一次便可。因而折線統計圖一般表示的是離散的數據，雖然表面上看是連續的，但實際上只表示一種趨勢。

函數圖象是函數的一種表達方式，函數圖象上的每個點都有確定的意義，它表示自變量和因變量的一對對取值，也就是說在函數圖象上任意取一點，就相應地有一對函數的自變量和因變量的取值與之對應;有一對函數的自變量和因變量的取值，圖象上就相應地有一個點與之對應。

教什么？

通過比對第二學段的折線統計圖與第三學段的函數圖象，我們不難發現，兩者壓根不是一回事。那么，學生學完折線統計圖的知識，直接上手解決“小明去圖書館的問題”必然有不可逾越的鴻溝。當然，這并不表示在第二學段就不能拓展相應的探究，關鍵是要找準學生解決這類問題的難點，這就是教學要重點突破的地方，用這樣的思維去思考，問題反而變得清晰了。既然題目中呈現的“折線統計圖”和學生經驗世界中的折線統計圖根本不是一回事，學生用已有的經驗無法順利讀圖，那么，引領學生正確讀圖自然成為教學的重點。筆者對幾位五年級學生進行了訪談，對于“小明去圖書館的問題”，他們的認知障礙主要集中在兩處：一是圖中平的那一段折線的實際意義，學生看到折線往前延長，潛意識中會感覺路程在增加，而實際這里路程根本沒有增加，這是有沖突的;二是折線下行的那一段直至回到橫軸，表示回到起點，學生看到的終點和起點明明不在一個點上，卻說回到起點，學生一時無法理解。學生若能讀懂這里折線圖的實際意義，解決下面幾個問題自然就不是難事。因此，教師教學這一問題時不應抱著練習題的心態去教學，以解決習題中的幾個問題為目標，而應當將此作為一個新授內容去教學，浙教版小學數學教材中就單獨編排了這一內容——運行圖。筆者以為，“運行圖”這一名稱直接表達出其與一般的折線統計圖的區別，顯然是更為智慧的選擇。

相對于“引領學生正確讀圖”這一教學明線，教學前我們還應深入思考這一內容的教學暗線——發展學生的數學核心素養。

一、讓學生經歷抽象的過程

數學抽象是舍去數學對象非本質屬性的思維過程。主要包括從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或數學術語予以表征。“小明去圖書館的問題”中，學生讀取文字信息是非常容易的，我們在此基礎上逐步出示圖象，形成完整的運行圖，表征小明的運動過程。將文字轉換成圖象，更加簡潔直觀，這也是一個從具體到抽象的過程，逐步培養學生用數學的眼光觀察世界的能力。

二、讓學生經歷推理的過程

推理是指從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程。從某種程度上說，數學問題解決的過程就是推理的過程。“小明去圖書館的問題”同樣如此，學生解決這一問題必然結合圖文，根據已知信息或分析，或綜合，一步步推理，直至解決整個問題。學生在這樣的過程中會慢慢學會用數學的思維思考世界。

三、讓學生經歷建模的過程

數學建模是指對現實問題進行數學抽象，構建數學模型，用數學語言表達問題，用數學知識與方法解決問題的思維過程。“小明去圖書館的問題”教學實施時，可以先讓學生用文字語言描述行走過程，然后抽象成數學表達——運行圖，最后借助數學符號解決問題。這正是建模的過程，長此以往，學生自然會形成用數學的語言表達世界的能力。

怎么教？

對于一線教師而言，最關心的還是怎么教的問題。筆者認為教學中應關注以下三點。

一、適度的鋪墊

雖然折線統計圖與運行圖形似而神散，但畢竟有相似之處，因此，對折線統計圖的深刻認識是學習運行圖的重要基礎。

針對學生理解運行圖的障礙，教師可以出示一日溫度變化的折線統計圖，從中追問幾個問題：從8時到12時溫度上升，折線是怎樣的？從12時到14時溫度不變，折線是怎樣的？14時以后溫度下降了折線會怎樣？

二、動態的演示

教材受特定條件的限制，往往不能呈現動態的圖，這并不代表教師只能將教材中的內容進行打包教學，現實中這樣做也是行不通的。

因此，當情境變換后，過渡到運行圖，不能一下子整體呈現，可以先找具體的有典型意義的點，追問這些點的實際意義，比如：起點、第一次轉折點、平移起點、第二次轉折點、回歸點……通過追問，澄清學生認識中的模糊點，為正確讀圖做好準備。當學生初步認識了運行圖中每一個節點的實際意義后，再用課件連貫地演示一下表示運動物體的點的運動軌跡，這樣動態的演示，讓學生從頭到尾連貫地感知運行圖的形成過程，形成對運行圖的完整認識，這是一個由具體的文字情境抽象為純數學的運行圖的過程。

三、豐富的變式

眾所周知，對于任何一個知識點的學習，如果只基于一種情境，學生的認識不會豐滿直至深刻，因此，適度的變式可以豐富學生的體驗，深化學生對問題本質的認識。

前面的動態呈現已分解了學生學習的難點，為及時鞏固已有成果，可以分步出示五幅運行圖，讓學生看圖說話，用類似講故事的方式解讀運行圖，第一幅圖是一輛車從甲地勻速到乙地;第二幅圖是一輛車從甲地先到乙地然后加速到丙地;第三幅圖是一輛車從甲地到乙地，休息一段時間后，再到丙地;第四幅圖是一輛車從甲地到乙地，再回到甲地;第五幅圖是一輛車從甲地到乙地，休息一段時間后，再回到甲地。通過這一連串的看圖說話，學生對運行圖的認識更為具體。

綜上，小學數學教學理應回歸簡單，面對不同的教學內容，我們應追問其本質是什么？我們需要教什么？面對不同的學生，我們又該怎樣教？而想輕松自如地回答這三個問題，備課時需要真正深入教材，仔細研讀，同時我們的目光不能囿于某一套教材，而應關注不同版本的教材，甚至是初中的教材。

（江蘇省南京師范大學附屬中學新城小學? ?210019）