數軸

姚建法

【摘? ?要】數軸是幫助學生直觀地認識與表達數的幾何模型，在整個小學數學學習歷程中與學生密切相關。借助數軸，可以從“數認知”“數關系”“數運算”“量的度量”四個視角，分別引領學生自然經歷數與數系的擴張、充分編織數與數的結構關聯、直觀呈現四則運算的本質、形象歸納度量的過程與方法，呈現出數學化的思維過程，體現數形結合，促進數學理解。

【關鍵詞】數軸;數形結合;數認知;數運算

根據數（自然數、分數、小數等等）從小到大的關系，在數軸上能夠從左往右表示成線性的次序。一般地，數軸包括負數，如果不涉及負數，則稱為“半直線”或“數射線”，它可以為小學生學習數提供直觀的幾何模型[1]，形象地構造知識體系，提升方法內涵。

一、數軸與“數認知”：自然“經歷”數與數系的擴張

自然數本身就是對自然世界中物體個數的抽象與符號表達。分數、小數、負數等等，都是數系為了適應不同階段的需要而不斷擴張的“產物”，逐漸構造了越來越精致而龐大的數系網絡。基于小學生的學習水平與思維含量，如何讓他們感受到這種“張力”呢？

【教學片段1】

（屏幕出示一把米尺，測量課桌的長、寬、高并用小數表示出長度）

師：如果所測量的長度超過1米呢？

（屏幕顯示米尺測量中的物體）

生：1.2米，在1米的基礎上再加2分米。

師：感覺好像是多出2分米，但數學還是要講求精確測量。

生：1米處畫條線，再把尺子往右移。

師：還可以——

生：再加一把尺子。

師：這就變成一把2米尺。如果測量的長度超過2米呢？超過3米呢？……

生：那就再加尺，再加尺……

師：數學上有辦法。

（屏幕顯示并介紹數軸，師生適時交流數軸上的數可以是幾，還可以是幾）

師生小結：真是一條神奇的線。

數射線的教學，不是回歸到具象的實體，而是要培養想象的空間以及數學的表示方法（用有限的表示想象無限）。[2]“加尺、加尺、再加尺”從有形到無形的教學推進，讓學生自然地經歷了數軸從具體到抽象的“生長”過程，簡潔明了地把小數與自然數進行了“聯結”，感受了小數與數軸上的點的一一對應關系，體驗了小數的數序與數值大小，特別是小數的向右無限擴張的推想，增強了學生的數學學習興趣。用數學自身的魅力吸引學生對數學的聚焦，數軸“真是一條神奇的線”！

【教學片段2】

學生根據單位正方形找到多個小數之后，在屏幕上把正方形變矮（長方形）。

師：你還能找到小數嗎？

生：能。

師（繼續把正方形變矮）：現在你還能找到小數嗎？

生（齊）：能。

師（繼續把正方形變矮）：現在呢？

生（齊）：能！

師（繼續把正方形變矮，像一個直條）：現在像你們用的——

生：直尺。

師：如果看成米尺，還能找到小數嗎？

生：能。

師（繼續把直條“變矮”為單位線段，抽象出單位“1”，繼而將單位“1”延展形成數軸）：現在，你還能找到哪些數呢？又有什么發現？

“靜態地看，概念是知識的基本單位;動態地看，概念是思維的基本單位。”[3]通過讓表示“1”的正方形逐漸地變矮、變矮、再變矮，成為直條、單位線段，延展形成數軸（確切地說是數射線），如此的層次遞進，學生擁有了豐富的過程體驗，十分輕松自然地完成了數學模型的建構。“現在，你還能找到哪些數呢？又有什么發現”的設問，更是引領學生不斷地感受著小數群，完成對學習過的所有數的整體認知架構。

從某種意義上來說，“數軸可以看作是數數的直觀”[4]，也是單位小數累加的原型。以上兩個教學片段中的教師都選擇了數軸作為“數的概念認識”的拓展延伸，應用數形結合使學生清晰地“看”到了小數是填在自然數之間的“新的數”，感受到小數和自然數一樣也是可以數出來的，也遵循從左往右越來越大的數序規則。特別地，小數并不是“很小”的數，將小數及時納入“舊”的數與數系，擴張了數域“版圖”，完成“新數”與“舊數”的高效融合與整體認知。相應地，今后分數的教學與小數異曲同工。

二、數軸與“數關系”：充分“編織”數與數的結構關聯

數學是研究關系的一門科學。數與數之間總是通過某種關聯進行聯結，形成相應的結構。比如因數與倍數便是討論與研究兩個非0自然數之間的共生關系，里面隱藏著多種數學規律與內涵。借助數軸，能夠有效地感知這兩者間的聯系與區別，呈現出數學化的思維過程。

【教學片段3】

師：如果把一個數的因數表示在數軸上，又會出現怎樣的神奇現象呢？

（屏幕顯示12、16、36三個數的因數在數軸上的圖像。）

學生觀察并思考：一個數的因數集中分布在哪些地方？

交流后教師追問：為什么一個數的因數會集中在前一半數軸上呢？

通過把一個數的所有因數表示在數軸上，學生便能印象深刻地感知到一個數的因數自左往右反映出的從“稠密”走向“離散”的分布狀態，映襯出書寫因數時從1開始有序記錄方式的優越性與合理性。“為什么一個數的因數會集中在前一半數軸上呢”的深度追問，引向了一個數的因數“成對”出現的結構思維，提升了學生對于一個數的因數內部之間縱深關聯的理性認識。

而要更好地挖掘一個數的因數和倍數之間的橫向關聯，筆者建議不妨設計這樣一個活動：觀察數軸想一想，6的倍數和因數分別可能在哪？

學生通過觀察判斷、找點表達、交流分享，首先排除了0，再次突出強調研討因數和倍數的數系范圍是非0自然數，也能很容易地得出6的因數最大是6，其他因數都在6的左邊，最小是1，個數有限;6的倍數最小是6，其他在6的右邊，等距離散，個數無限，體現出規律性;等等。通過數軸建立的直觀“表征”，學生能夠形象地感知因數與倍數的內在特征與結構關聯。

三、數軸與“數的運算”：直觀呈現四則運算的本質

從一年級起，兩個數之間最基本、最常用的關系就是加減乘除四則運算。加法，簡明地體現為在數軸上兩個數疊加合并的核心本質;減法，則是在數軸上準確地找到某兩個數所對應的點，度量出這兩個點之間的距離即差;乘法，是在數軸上連續向右若干次等間距的“跳躍”;除法，則是從被除數處向左“跳回”若干個等間距，本質上屬于等距“連減”，體現除法是乘法的逆運算，比如下圖所表示的除法算式36÷5=7……1。

哪怕到了更高的年級，學習了分數與小數的運算之后，亦可以進行相應表達。比如0.3+0.9，先在數軸上數到0.3，再從0.3那個點開始，重新數到0.9，最后停留的點就是這兩個數的和1.2。再如六年級的運算問題[12]+[14]+[18]+[116]+…大多是利用單位正方形展開數形結合與倒推轉化，應用數軸是不是也能很便利而清晰地加以表現呢？

四、數軸與“量的度量”：形象歸納度量的過程與方法

為了準確度量一個物體有多長，二年級上冊學習用刻度尺作工具、用厘米作單位，常常從0刻度量起，量到幾就是幾厘米，或者從a厘米量起量到b厘米處，則得出物體長度是（b-a）厘米。直到量更長的物體時用到了米尺、卷尺等測量工具。但說到底，一方面這些測量的“尺”其實就是一個半抽象化的數軸（確切地說是數軸的一部分，是數射線），另一方面都是用“終點-起點”的方法得出度量長度，只是0作為起點時，減0仍得原數，常省略而已。

在三年級學習《年、月、日》的過程中，學生常常要解決求經過時長的問題，也可以通過“時間尺”（即數軸）來闡釋，表達時間與時間之間的“序”與結構。時間無始無終，和數軸無限延伸一致，求經過時長，便形象地和度量物體長度相一致，也是用“終點-起點”的方法。

再放寬視角，在解決從一樓爬到幾樓的問題時，學生易犯的錯誤是沒有將“一樓”有效排除。如果結合數軸分析，不管是量長度、求時長，還是爬樓問題，都可以辯證統一地把開始的地方稱為“起點”，結束的地方稱為“終點”，用“終點-起點”得出度量值。這么一來，又想到“平移”多少格的問題，不也可以用“終點-起點”的方法來解決嗎？那個“格子”可以想象成“外形”更加簡陋的數軸。可見，數軸在不同的領域有著不同的應用方式，蘊藏著豐富的教學價值。

如果再延展一下進行審視，借助兩條數軸組成的二維直角坐標系，不但能夠準確地“定位”物體的位置、表達出兩個數的乘積（即長方形的面積），也可以清楚地表達出正比例與反比例的函數關系等等。如果再延伸一下呢？三條數軸組成三維坐標系，那么能做的事就更豐富啦！

“數學概念并非孤立存在的，總是處于相應的概念系統中。數學概念既可能以縱向的邏輯關系形成‘概念樹，又可能以橫向的并列關系形成塊狀結構的‘概念群。”[5]而數軸，正恰恰是具備這種能量的“一條神奇的線”，等待我們去創造、去“繪制”！

參考文獻：

[1][2]張奠宙，孫凡哲，等.小學數學研究[M].北京：高等教育出版社，2014：280-281.

[3]劉志強.縱向數學化：數學學習的必由之路[J].教育研究與評論，2014（10）：21.

[4]江黎明.突出本質? ?情境支撐? ?數形結合[J].小學數學教師，2015（5）：62.

[5]凌麗.概念教學的過程性缺失與重構[J].小學數學教育（下半月），2015（7-8）：72.

（江蘇省常州市新北區新華實驗小學? ?213127）