“三重表征”在小學數學教學中的應用

龔偉 應益可

【摘? ?要】兒童的認知發展是由結構上迥異的三類表征系統及其相互作用構成的質的飛躍過程。就“5以內的加減法”的教學來說，教師可以通過“動作表征”促進學生樂于探索，培養學生的探究能力;通過“圖像表征”促進學生自主觀察，培養學生的抽象能力;通過“符號表征”促進學生不斷思考，培養學生的推理能力。

【關鍵詞】三重表征;小學數學;5以內的加減法

一、問題提出

數學符號是數學學科語言的主體，主要用于數學表達溝通，可以簡化和加速學生的數學思維過程，進而提升其語言表達能力、抽象思維能力以及邏輯推理能力。從認識事物的角度來說，符號化的數學知識與學生生活實際內容的互動是學習數學的基本途徑。《義務教育數學課程標準（2011年版）》在綜合各方面研究的基礎上，正式將“符號意識”列為數學學習內容的核心概念之一[1]。

然而，數學符號對于小學生究竟意味著什么，什么時候開始學習以及如何學習，這些問題一直困擾著廣大小學數學教育工作者。筆者曾就上述問題與某小學數學教師進行探討，并有幸受邀觀摩了一次一年級“5以內的加減法”的課堂教學。課后筆者與上課教師進行了深入交流，不僅對上述問題有了較為清晰的認識，更是有感而發：小學數學教學并不是件容易的事。

二、“5以內的加減法”的教學設計

眾所周知，小學生在學習“5以內的加減法”前，已經能夠熟練地從1數到5以及準確地辨認這五個數，而且對“5以內的加減法”有了一定的掌握，但這是他們初次接觸“+”“=”“2+3=5”這些符號及其表征。因此，毫不夸張地說，“5以內的加減法”是小學生真正學習數學的開端，是他們經歷復雜符號思維過程的起始階段，對他們以后的數學學習起著非常重要的導向作用。

“謀求科學世界向生活世界的回歸，實現科學世界與生活世界的融合，已成為一種重要的時代精神。這意味著教育應當掙脫‘唯科學主義的樊籬，擺脫工具價值的地位，找回失落的主體意識”[2]。從整個教學過程（見表1）來看，本節課的最大特色是讓小學生親身經歷“生活世界”與“科學世界”之間的相互轉化：“生活激趣”部分的主要目的在于喚醒學生的已有認知，強化數學與日常生活的關系，為接下來的學習做準備;“思維挑戰”部分在于引導學生通過自己動手與思考，逐步從“生活世界”進入“科學世界”，真切地感受到“數學原本就是生活世界的一部分”“而不是冷冰冰的數字相加減”;“知識遷移”部分要求利用已有知識自行完成知識的建構，提高相關類屬學習、概括學習和并列結合學習的能力;最后的“課堂小結”部分既是對本節課所有內容的總結，加深學生對符號表征的理解，也是讓學生更好地感受到“數學從生活世界中分離出來是為了更好地提升生活世界的意義”。此外，執教教師在整個教學過程中，設置了“匯報”“展示”“討論”“交流”等環節，鍛煉了學生語言表達能力，體現了數學教學的多維培養目標。

三、“5以內的加減法”的教學啟示

“5以內的加減法”對于小學生而言并不難，甚至學前兒童已經能夠熟練地運算。幾乎所有的小學數學教師在教授這部分內容時都會采取從“數數”到“拆分”再到“加法”的教學設計，但都多多少少弱化了三者之間的實質、聯系及其重要的學習價值。美國教育心理學家布魯納認為，兒童的認知發展是由結構上迥異的三類表征系統及其相互作用構成的質的飛躍過程，這三類過程分別是動作表征（the enactive representation）、圖像表征（the iconic representation）和符號表征（the symbolic representation）[3]。本節課正是致力于將“數數”“拆分”“加法”背后所蘊含的三重表征系統的相互作用顯性化，直指學生認知生長的核心，為學生以后復雜符號的學習做好一定的鋪墊。

（一）通過“動作表征”促進學生樂于探索，培養學生的探究能力

杜威的觀點“學校中求知的真正目的，不在知識本身，而在學習獲得知識以適應需要的方法”[4]與我國古語“授之以魚，不如授之以漁”有著相同的意思。因此，教師在有條件的情況下應盡可能地讓小學低段學生動手學數學，引導他們大膽探索，促使他們利用在“動作表征”階段獲得的直接經驗進行深度思考，進而展開發現學習，對已獲取的知識進行轉換和組織，掌握解決數學問題的一般方法，最終到達自主探究的狀態。

本節課中，執教教師充分調動學生的積極性，通過設計“數一數”活動環節讓學生直觀地感受到數的加法以及“1加2”和“2加1”是相同的，緊接著讓學生通過“說一說”環節來“強化”自行獲得的認識。隨之，執教教師讓學生動手畫出自己的表述過程，這一做法的目的不僅在于將學生的思維導入“圖像表征”階段，更是讓學生建立起“動作表征”與“圖像表征”之間的聯系，在方法層面上提高解決問題的能力。

（二）通過“圖像表征”促進學生自主觀察，培養學生的抽象能力

赤瑞特拉通過大量實驗證實，人類獲取的信息83%來自于視覺[5]，視覺是人類認識和改造世界的一個主要途徑。同時，根據皮亞杰對兒童和青少年認知發展的劃分[6]，可知小學低段學生正處于具體運算階段（stage of concrete operation），需要借助具體的實例進行學習。“圖像表征”的主要作用，能夠將學習內容具體化，留給學生充足的獨立思考的時間，提高學生的理解能力，初步形成“數形結合”的基本觀念。因此，教師需要在“圖像表征”階段指導學生自覺觀察與比較，為進行進一步的推論獲得第一手資料。

執教教師考慮到學生當前的邏輯推理能力比較有限，要想讓他們獲取數學經驗，就得更多依賴于直接的觀察與比較這一途徑。待學生畫出自己的表述過程之后，執教教師特意設置了相關的展示與討論環節，旨在引導學生的思維通過語言積極地“作用”于用視覺獲取的外界信息，將圖像的外部特征逐步抽象最終得出所表征的本質信息，為思維層次的進階做好鋪墊。

（三）通過“符號表征”促進學生不斷思考，培養學生的推理能力

卡希爾認為，“符號化的思維和符號化的行為是人類生活中最富有代表性的特征，并且人類文化的全部發展都依賴于這些條件”[7]。數學符號是國際數學界統一規定和使用的，它以直觀簡單的形式表達了豐富的數學意義，成為學習和研究數學特有的語言工具。“符號表征”的過程，其實正是學生不斷整合思維邏輯，將所學知識不斷加工與強化的過程。因此，教師需要指導學生將獲得的直接經驗加以處理并轉換為內在的模式，使之不受時間與空間的限制而與他人交流，可以通過對各種行為所導致的結果進行預見而制定自己正確的行動指南。

“符號表征”是學生數學學習的難點，以往的教學往往直接由教師講授“拆分法”，雖然已有一定符號表征的要求，但顯然過多地強調了數學符號的“工具價值”而忽略其“思維價值”。在本節課，執教教師在學生對圖像表征已有深入見解的基礎上才過渡到“拆分法”，而“拆分法”用于“圖像表征”與“符號表征”之間的巧妙過渡則很好地引出了“加法”的表示。隨后的“知識遷移”環節則讓學生自行經歷“三重表征”的全部過程，要求學生自行完成數學學習的多元表征。這不僅加深了學生對數學符號表征的理解與運用，更是有力地促進學生進行意義建構與實踐應用，從而實現學生素養的整體提升和全面成長（見表2）。

四、結語

自從小學生開始學習數學，就開始與數學符號打交道，盡管接受了有關符號操作的強化訓練，但計算仍然錯誤不斷，究其原因是小學生缺乏對符號的深刻理解和靈活運用。[8]因此，小學生在其早期數學學習階段就應當系統學習符號表征的相關內容，為其后續代數思維的學習和數學能力的長期發展奠定基礎，更是使學生掌握一種“調整和創造各種環境事件的有力工具”，使人的生活更加具有深度和意義。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京： 北京師范大學出版社，2012：9-10.

[2][3]張華. 課程與教學論[M].上海： 上海教育出版社， 2000：432，126.

[4] （美）杜威，著. 明日之學校[M].朱經農，潘梓年，譯. 北京： 商務印書館，1923：15.

[5] D.G.Treichler. Are you missing the boat in training aids？[J].Film and Audio-Visual communication，1967，48（1）：14-16.

[6] （瑞士）皮亞杰，著. 發生認識論原理[M].王憲鈿，譯.北京： 商務印書館，2009： 21-51.

[7] （德）卡希爾，著.人論[M].唐譯，譯.長春： 吉林出版集團有限責任公司，2014： 36-37.

[8] 呂婷. 一年級學生數學符號意識的特點及其與數學學業成績的關系[D].杭州： 杭州師范大學碩士學位論文，2017.

（浙江師范大學教師教育學院? ?321004）