直觀中洞察 思辨中建構

張翼文 章輝

課例研究更需厘清的一種邊界

作為一種行之有效的教研方式，課例研究正越來越被教師所接受和采用。如何使之發揮有效作用，不少一線教師和專業研究者也做了不少探索，并從如何聚焦主題、深化過程和成果整理等諸方面提出了許多可鑒的主張。囿于工作的特性和思維的習慣，一般教師的確會更多關注程式層面。事實上，有一類情況必須引起大家的高度重視，即研究命題本身的科學性問題。這里既有針對學情所應把握的研究邊界或深度問題，或言之，究竟可以將原有教學任務和教學目標拓展和“拔高”到何種程度？也有拓展或拔高的內容即本體性知識是否正確？如果只是憑借“萬戶飛天”的勇氣，罪莫大焉！課例研究不僅要解決到哪里去的問題，更要明白從哪里出發，乘著什么樣的航船出發。再言之，就本體性知識的表述而言，是否存在學理性表達方式和“教學性表述語言”的區別？凡此種種，在課改深入推進的當下，都應當引起大家的關注。研究的風險和邊界需要科學地厘清。實際上，不少一線教師尤其是一些資深教師隨著自身研究視野的拓寬和研究問題的深入，已經開始意識到上述問題恰是他們這些具有一定研究基礎的教師更易產生的問題。基于編輯部和相關教師的共同體認，本期特別選取一典型案例進行討論，并呈現不同專家和實踐教師的討論實錄，以期拋磚引玉，引發大家共同的思考。特別感謝本期案例的提供者以及參與相關討論的原杭州師范大學的部分學科專家和專業研究團隊的相關專家和其他一線教師。

【教學內容】人教版教材四年級上冊P56-57 。

【教學目標】

1.知識技能：認識平行與垂直相關符號，理解平行與垂直的概念，掌握判斷平行與垂直的方法。

2.數學思考：通過觀察、思考、概括等實踐活動，感受相交與不相交的位置關系，理解平行與垂直關系形成過程，逐步提高抽象概括能力。

3.問題解決：通過觀察、比較、實踐、交流等數學活動，逐步形成直觀洞察意識，提高空間想象的能力。

4.情感態度：通過系列數學學習活動，體驗數學知識體系的結構美，激發對探索數學本質的興趣。

【教學重點】理解兩條直線平行與垂直的關系。

【教學難點】體驗“異面”內兩條直線位置的辯證統一關系，凸顯空間觀念的培養。

【教學過程】

一、直接導入

師：今天我們來研究兩條直線之間的位置關系。

（設計意圖：直白也是一種數學課堂美。此處直接揭示課題，讓學生直接、有效、自然地進入學習狀態，開啟數學奇妙探索之旅。）

二、新知展開

1.動手實踐，初步感知兩條直線位置關系

（1）出示問題，學生實踐。

師：同學們，看大屏幕，這里有條直線a，直線外有一點O，過O畫一條直線，你行嗎？

師：你有幾種不同的畫法呢？老師給你們每人準備了幾張作業紙，請你把想法畫在上面。

（學生活動，過程略）

（2）收集作品，展示分享。

師：老師從同學們那里收集到了很多特別美觀的作品，請大家一起來欣賞。（展示學生作品）

（設計意圖：此環節通過畫一畫的實踐活動，充分尊重與激活學生的已有經驗，讓學生在動手實踐中初步感受兩條直線之間的位置關系。同時，在實踐中也可以自然生成后續學習所需要的素材，從中也落實對學生動作直覺思維的培養。）

2.組織分類，感受相交與不相交關系

（1）分類活動，感知屬性。

師：為了大家能看得更清楚些，老師把相類似的作品統一展示出來。

師：請觀察五幅作品，你能根據兩條直線的關系，把它們分成兩類嗎？

生：相交：①②③，不相交：④⑤。

生：相交：①②③⑤，不相交：④。

（2）爭論說理，明晰本質。

師：同學們，對于⑤號作品出現了兩種聲音，有認為是相交的，有認為是不相交的，數學是需要講道理的。請雙方各派一名代表來說說理由。

生：像作品①②③這樣，相交是有明顯交點的，而作品⑤沒有，所以是不相交的。

生：作品⑤目前看是沒有交點，但是直線有一特性，它可以向兩端無限延長，延長后就有交點了。

......

師：現在大家支持哪個觀點呢？

生：作品⑤是相交的！

（師結合課件演示作品⑤是相交關系）

（設計意圖：此環節中，在⑤號作品的歸屬問題上，全班同學自然地產生兩個陣營。教師有意組織正反雙方進行說理爭論！爭論的過程就是對本質內涵的明晰認同過程，最后自然地達成一種學習共識。）

3.深入感知，洞察平行的本質屬性

（1）圖形直觀，深入洞察。

師：剛才我們對作品⑤有了爭議，最后我們根據直線的特點，也明白了作品⑤兩條直線位置關系是屬于相交關系，現在張老師把作品④與⑤一起請出來考考你們的眼力，請用你的火眼金睛觀察作品④與作品⑤，說一說為什么作品⑤兩條直線一定會相交，而作品④的兩條直線一定不相交呢？（四人小組交流）

④? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?⑤

生：我借助格子圖，發現作品④中直線a和直線b之間都保持3格狀態，而作品⑤中直線a和直線b不是一直保持3格狀態的。

師：如果延長作品④中的直線a與直線b，那么它們之間還是保持3格狀態嗎？你發現了什么？（課件演示動畫）

生：永遠都是3格，所以兩條直線永遠不相交。

......

（設計意圖：我們知道，要使學生進入深度學習狀態，關鍵還是看教師是否懂得學生的思維需要什么。此環節中教師提問：“你們怎么知道作品④兩條直線是永遠不相交，而作品⑤兩條直線是相交的呢？”學生有了格子圖為背景，即有了思維的“腳手架”，思維指向就會傾向于兩條直線為什么互相平行的本質屬性——兩條直線間的距離總是保持不變的狀態。同時，通過平移其中一條直線，它們之間也保持相同距離，也就是永遠不相交。）

（2）運動變化，深入感知。

師：如果現在把作品④中的直線b向上平移1格，那么這兩條直線會相交嗎？為什么？

生：不相交！因為它們之間永遠保持4格狀態。

師：如果現在把直線b向下平移2格，那么這兩條直線會相交嗎？為什么？

生：不相交！因為它們之間永遠保持2格狀態。

師：如果現在把直線b向下平移1.5格，那么這兩條直線會相交嗎？為什么？

......

師：試想一下，如果直線b一直向下平移，最終會與直線a發生什么現象？

生：直線a和直線b會重合。

......

（設計意圖：數學學習是一個由表及里、層層遞進、不斷深化的過程。此環節通過直線的多次平移運動，讓學生直觀感受到，雖然直線位置發生了變化，但是它們之間保持的狀態是不變的。這種狀態保持不變，也成就兩條直線永遠不相交的關系，這充分體現了數學變與不變的關系。）

（3）適機總結，明晰概念。

師：像這樣在同一平面上，兩條直線永遠不相交，稱為這兩條直線互相平行。數學上可以表示為a[?]b，或者b[?]a。

（生相互讀一讀，說一說）

4.練習跟進，加深理解

師：接下來我們繼續畫一畫直線，比一比在規定的時間內誰畫得多。給大家30秒時間，過直線外一點O畫直線。

（學生活動）

師：如果張老師再給你時間，你還能畫嗎？

生：能！

師：如果給你充足的時間，你能畫多少條呢？

生：無數條！

師：那過O點畫的無數條直線中，你能找到幾條跟直線a是互相平行的呢？

（生答1條，并指一指，說一說）

師：那其他無數條直線都跟直線a是什么關系？

生：相交！

（設計意圖：心理學研究表明，學生的學習選擇性刺激越強，在腦中留下的表象就越深刻，從而對意義本質的理解也會更深入。此環節學生通過再次動手實踐畫直線，感受過一點所畫直線數量的無限性，然后在無數條直線中找出與對應直線保持平行關系的直線，突出唯一性。同時也體現兩條直線平行的位置關系之特殊性，更進一步厘清直線相交與不相交的兩種位置關系。）

5.自主建構，在辨析中明晰垂直關系

師：剛才同學們過O點畫了無數條直線與直線a相交，現在老師隨意地從無數條相交的直線中找出幾條（如下圖）。

師：這幾條直線中，哪一條與直線a相交得與眾不同？說說理由。

生：直線d與直線a相交與眾不同，因為它們相交成直角。

師：請同桌指一指四個直角，并標上直角符號。

師：兩條直線相交所組成的角為直角時，稱它們互相垂直，其中一條直線叫作另一條直線的垂線。數學上可以表示為a⊥b或b⊥a。

（設計意圖：學生進入深度學習推進的過程，其實是一個不斷自主明晰、自我完善與自我建構的過程。此環節教師從眾多與直線a相交的直線中有意地選擇幾條，讓學生進行甄別。學生自然地進入自我選擇與自我建構的狀態，對兩條直線相交的特殊情況之互相垂直關系的認識水到渠成，同時也突顯垂直關系的特殊性。）

三、感受“異面”內兩條直線位置的辯證統一關系

1.發揮想象，感受線動成面

師：兩條直線互相平行在電腦屏幕這個平面上，可以說是“同面，永遠不相交的兩條直線，互相平行”。

師：前面已知道，如果a//b ， 那么直線b（或者直線a）平移到任何位置都將與直線a（或者直線b）平行或重合，直線b可以上下平移并停留，請問它有多少處地方可以停留呢？

生：無數處地方可以停留。

師：如果無數處地方停留，每處停留地方的痕跡用淡灰色顯示，這些痕跡將會形成什么樣子呢？

生：會形成一個淡灰色的平面！

（師結合課件演示線動成面的狀況）

......

（設計意圖：學習過程是一個經驗積累的過程，前面學生在感知平行的本質屬性時，教師通過多次直觀動態平移直線及引導想象，讓學生體驗兩條直線永遠保持不相交狀態的情形，也讓學生感受到直線平移位置的無限性，從而為學習活動的深入進行而積累經驗。）

2.理性辨析，在活動與想象中內化“異面”內兩條直線位置的辯證關系

（1）活動生成，“異面”兩條直線位置關系。

師：同面，永遠不相交的兩條直線，互相平行，即a//b;有同面，必有異面。如果把直線b請出電腦平面，到紙板平面上，這時候直線a與直線b看似不在一個平面了，也就是直線a與直線b成為“異面”上的兩條直線。

師：這樣“異面”的兩條直線，它們可能互相平行嗎？老師已經為各小組分別準備了學具，請你們相互擺一擺，議一議，說一說。

（生活動并展示，有可能平行，也有可能不平行）

（2）想象感知，體驗不同平面內兩條直線位置的辯證統一關系。

師：第一種異面的兩條直線永遠不相交，是互相平行的，那么請大家想象，平移直線a慢慢向直線b靠近，直線a平移留下的痕跡將成一個面。你們能用手比畫一下這個面嗎？

（生比畫想象，生成第三個面）