“簡潔”但不“簡單”

周衛紅 趙東

一、研究背景

百分數在生產、生活中有著廣泛的應用，深入理解百分數的意義，對于學生正確解答有關百分數的實際問題具有重要作用。但多年的教學經驗告訴我們：“簡潔”的百分數，學生理解起來真的不是那么“簡單”，這其中也有教師的原因。

（一）教師在教學中用“套路”進行教學

1.用“套話”分析百分數

對于“我國人口總數占世界人口總數的22%”這樣含有百分數的句子，教師上課時會重點讓學生進行關鍵句的分析，分析的“套話”基本是兩種：“22%表示我國人口總數占世界人口總數的比例”“把世界人口總數看作單位1，平均分成100份，我國人口總數占其中的22份，是22%”。第一種解釋只是對關鍵句的重復，第二種解釋套用分數的意義解釋百分數。這兩種解釋都沒有對百分數的本質進行深入理解。

2.按“套路”解決問題

分數、百分數問題“內容復雜，類型繁多，變化多樣”，是小學階段令教師和學生頭疼的一類問題。如這樣一題：“學校圖書室去年有圖書1400冊，今年圖書冊數增加了10%。今年圖書室有多少冊圖書？”如果把題目中的“關鍵句”或問題稍加改動就可以變化出多種不同題目，學生往往困惑于該用乘法還是用除法，該用1+10%還是用1-10%。教學中教師花費大量的時間要求學生掌握一套問題分析流程：“抓關鍵句—找‘單位1—畫線段圖—讀出圖意—列式計算?！睘榱舜_保學生進行正確的解答，有教師甚至總結了一套“萬能法則”，即：單位1×分率=分量;分量÷分率=單位1;分量÷單位1=分率;單位1已知用乘法;單位1未知用除法……這些解題“套路”反而給學生的學習造成負擔，不利于學生利用數學概念的本質去分析和解決問題。而且在中學，多側重于用方程解決百分數問題，根本不提“單位1”的事兒。

（二）學生對百分數的理解不夠全面

1.對百分數的大小認識上有局限

學生受已有知識和經驗的影響，在心理上不接受小于1%和大于100%的百分數。

在上圖這道題的測試中，有10%的學生出現了錯誤。學生認為，300%有些怪怪的，不大理解它的意思。如果寫成“高鐵的速度大約是普通客車速度的3倍”，就能理解了。將我國森林覆蓋率寫成大約是100%的學生也不在少數，說明學生不能從本質上理解百分數表示的是兩個量的關系，不能自覺溝通份、倍、分數、比這些概念之間的區別和聯系。

2.對于變換形式的題目不知所措

面對一些與份數、倍、分數、百分數、比這些概念相近的題目，尤其是逆向解決的問題，學生常常不知所措。如“馬爾馬拉海是世界上最小的海，面積為11000平方千米，比我國太湖面積的4倍還多1400平方千米，你知道太湖的面積有多大嗎？”“單位1”不明顯的題目對于學生來說，理解題意也有一定困難，如：“爸爸帶芳芳去新加坡旅游，芳芳發現，每次吃完飯結賬時，賬單上的錢數已包含了餐費的10%的服務費。如果賬單上的錢數是123.2元，那么你知道芳芳他們的餐費是多少錢嗎？”究其原因，學生不能準確把握題目中兩個量“比較”的關系。

二、百分數的實質分析

（一）抓住百分數概念的核心

在各個版本的教材中，對百分數的概念基本上是這樣定義的：百分數表示一個數是另一個數的百分之幾，百分數也叫百分率或百分比。如，15%表示一個數占另一個數的[15100]。筆者認為，百分數的核心是：表示兩個量相除的比較關系，這兩個量可以是部分與整體，也可以是部分與部分。學生在學習時對于百分數中“兩個數”的理解是比較籠統的，還不能有目的地找到百分數反映的是哪兩個量之間的關系。

怎樣簡潔地表示出百分數中蘊含的“兩個量”的關系？怎樣利用百分數概念的本質幫助學生提高分析問題、解決問題的能力？怎樣抓住百分數概念的核心進行單元整體教學？

（二）整體教學的設想

學生理解百分數的意義，既是進一步學習百分數相關內容的必備知識，又是分析與解答相關實際問題的重要基礎。同時也是溝通與份、倍、分數、比這些概念的聯系和區別、完善認知結構的重要內容。

基于這樣的思考，我們開展教學的思路是：抓住題目中的關鍵句，把百分數中所反映的關系明朗化，外顯成分數表達的關系式，把復雜關系簡單化。如“賬單上的錢數已包含了餐費的10%的服務費”可以讓學生簡單地表達為：

[服務費餐費]=10% ， [總費用餐費]=1+10%

“甲數比乙數少10%”可以表示為：

[少的數乙數]=10%， [甲數乙數]=1-10%

從百分數的認識到實際問題的解決，教師整體把握對百分數中兩個量“關系”的深入挖掘，教學不用“套路”，把百分數的應用過程變成對百分數概念不斷深化的過程;學生全面感知，學習的內容更有系統性、條理性。

基于以上思考，筆者進行了整體把握百分數單元教學的實踐探索。

三、實踐過程

我們從整個單元中選取三部分主要內容進行實踐，三節課緊緊抓住百分數的意義。在具體操作中，都是讓學生從繁雜的背景中重點挖掘：題目中的百分數是誰和誰比？誰占誰的百分之幾？并以分數形式呈現兩個量的關系。三節課具體是這樣安排的。

（一）“百分數的意義”一課

通過突出百分數是兩個量“比較”的關系，找到題目中的兩個量，包括部分與整體的關系，兩個獨立量之間的關系。

環節一：由課前研查的問題引入。

出示問題：“六（7）班和六（10）班，哪個班學生的視力情況比較好？”

請學生以小組為單位進行探究并匯報。

第一小組：只比較近視人數。

第二小組：用分數結果比較。

第三小組：用百分數結果比較。

師生對話得出：要想知道哪個班的視力情況比較好，只看近視的人數不行;用分數能比較出來，但是不簡潔;而比較“近視人數占總人數的百分之幾”，既能準確比較出兩個班學生視力的情況，又很簡潔。

板書：[近視人數總人數]

（設計意圖：在探究中初步感知百分數表示的是兩個量的關系。）

環節二：多種形式理解百分數的意義。

（1）理解部分與整體關系的百分數。

資料1：我們小組有4人，男生占75%。

資料2：人體對雞蛋蛋白質的吸收率高達98%。

（2）理解兩個獨立量之間百分數的關系。

書法社團人數是剪紙社團人數的200%。

（設計意圖：用線段圖的形式進一步幫助學生理解百分數是可以大于100%的。）

（3）深入理解百分數表示的是兩個量比較的關系。

（設計意圖：滲透數形結合的思想，讓學生感知百分數與扇形統計圖的聯系，進一步感悟百分數的意義。）

環節三：請學生用自己的理解表達百分數。

出示學生作品。

圖形表達：

文字表達：

一個數（可以是一個物體或是一群人）占總數的百分之幾;

一部分占整體的百分之幾;

一個隊是另一個隊的百分之幾;

一個數是另一個數的百分之幾……

（設計意圖：教師基于學生的理解，設計開放的情境，進一步利用不同的形式強化學生對百分數的認識。）

（二）“生活中的百分率”一課

本節課的設計旨在在復雜情境中讓學生理解百分數的意義，為解決百分數實際問題打下基礎，構架百分數的認識與解決百分數實際問題的橋梁。

具體操作形式為：借助線段圖，利用[（? ）（? ）]的形式讓百分數（百分率）所表述的兩個量的關系明朗化，并能根據題目進行聯想。

環節一：銜接。

沿用上節課的內容，提問：用近視人數÷總人數就能求出什么？根據[近視人數總人數]=83.3%，我們還可以得出什么？

板書：[未近視人數總人數]=1-83.3%

（設計意圖：在具體情境中理解百分數是兩個量比較的一種關系，并能根據數量關系進行合理的聯想。）

環節二：利用線段圖，理解不同生活情境中百分數的意義。

（1）王麗用電腦輸入一份資料，她上午比下午多輸入了20%。

（2）本季度水費比上季度節約20%。

（3）現在每件產品的成本比原來降低了30%。

（4）實際比計劃超產10%。

……

（設計意圖：借助線段圖，讓學生對各種情境中的百分數進行分析，并利用分數的表述形式形成關系式，體現百分數表示的是兩個量比較的一種關系。這種詞句的含義清楚了，解決百分數的實際問題就會水到渠成。）

（三）“百分數實際問題”一課

本節課主要讓學生在理解百分數意義的基礎上，借助關系式，正確解答實際問題。避免學生用“套路”解決問題，把算術法和方程法進行有效溝通。

環節一：利用關系式解決一步實際問題。

（1）分析關鍵句，獲得關系式。

港珠澳大橋海底隧道長度約占大橋總長的12%。

討論：句中是哪兩個量在比較？12%是什么意思？能得到怎樣的關系式？

[隧道長度大橋總長]=12%， [海面橋長大橋總長]=1-12%

（設計意圖：結合前兩節課的理解，分析關系句中的量，探討12%的含義，獲得兩個關系式，為進一步解決問題做好準備。）

（2）解決問題，反饋交流。

港珠澳大橋全長55千米，海底隧道長度約占大橋總長的12%，海底隧道長約多少千米？

方法一：設海底隧道長[x]千米，[x55]=12%;

方法二：55×12%=6.6（千米）。

（設計意圖：引導學生結合實際問題選取恰當的關系式，對方程法、算術法的道理進行分析。）

環節二：利用關系式解決兩步實際問題。

（1）分析關鍵句，獲得關系式。

港珠澳大橋比青島灣大橋長51%。

借助線段圖理解51%的含義，通過聯想獲得不同的數量關系式。

（2）解決問題，反饋交流。

港珠澳大橋長55千米，比青島灣大橋長51%，青島灣大橋長多少千米？

方法一：設青島灣大橋長[x]千米，[55x]=1+51%;

方法二：55÷（1+51%）≈36.4（千米）。

（設計意圖：引導學生選取恰當的數量關系式解決實際問題，體會利用百分數表示兩個量比較的意義。）

環節三：總結方法，嘗試練習。

從香港到珠海通過港珠澳大橋駕車用時為45分鐘，比原來縮短了75%，原來用時多少分鐘？

（設計意圖：通過剖析百分數的意義，分析數量關系式，得出解決問題的方法，提升學生解決問題的能力。）

四、實踐反思

在整體單元設計中，突出了百分數表示的是兩個量之間的關系，并用簡潔的分數形式表示這樣的關系，巧妙地溝通了倍、分數、比、百分數之間的聯系。在整個單元學習中，學生能夠緊緊抓住“關系”這條主線，由淺入深、層層遞進，打通了知識體系之間的聯系。

這樣的設計對學生解答復雜的百分數實際問題，尤其是逆向的實際問題，起到了很好的支撐作用。學生不用過多地關注誰是已知，誰是未知，什么情況下用乘法，什么情況下用除法，并有利于用方程法解決問題，有利于中小銜接。

整體設計利用了多種形式呈現百分數，使學生深刻地理解了生活中的百分數。在題材的選擇上，關注了百分數各種不同形式的表征，100%以內的，大于100%的，整數的、分數的、符號的、圖形的，部分與整體的，部分與部分的，使學生能夠從中感悟到百分數的本質。

考慮到百分數也是一個數，單元設計還需進一步完善。今后應通盤考慮教材，緊緊抓住“關系”“比較”的核心要素，把倍、分數、百分數、比這些相關的概念整合起來，使知識之間的聯系更加緊密。

（北京市昌平區教師進修學校? ?102200

北京市昌平區南口鐵道北小學? ?102200）