同形繼承導致錯誤舒竹

曹晶晶 林玲郜

【摘? ?要】在數學學習中，存在著將已有經驗中的某種形式直接應用于其他對象中的現象。這反映出學習者在學習過程中會產生“同形繼承”的心理。在“數與代數”領域中有四種常見的“同形繼承”類型：“一一對應”的繼承、從“個位”算起的繼承、“從左到右”的繼承和“分配律”的繼承。教師利用學生的“同形繼承”心理可以設計“自我否定”的教學活動，將錯誤變成有效的教學資源。

【關鍵詞】數與代數;同形繼承;錯誤

“同形繼承”是人們普遍存在的一種心理，簡單地說就是照“老樣子”做。依據這樣的心理做事，有時是正確的，有時卻是錯誤的。因此研究數學學習中的“老樣子”對于學生學習的影響是必要的。

一、什么是“同形繼承”

1830年，劍橋大學數學教授喬治·皮克科（George Peacock）在《論代數》（A Treatise on Algebra）一書的前言中首次提到了繼承性（Permanence）一詞，主要研究在算術中的運算規律，如何繼承到代數運算中。皮克科指出，這樣的繼承應當遵循“同形繼承原理（The principle of Permanence of Equivalent Forms）”[1]。原文的說法是：無論是什么形式的代數，當符號在形式上是普遍的，而在數值（正整數）上是特殊的時候是同形的，那么當符號在值上和形式上都是普遍的時候也應當是同形的。[2]同形繼承原理強調了形式與內容這兩者之間的關系。形式是可以直觀感知到的東西，例如運算規則和性質;內容則是隱于形式的成分，例如取值。同形繼承原理想表達的意思就是如果形式是相同的，那么隱于形式之下的內容是與形式相一致的。

對于“permanence”一詞的翻譯需要進行說明。我國學者對于“permanence”一詞有不同的翻譯。例如，李躍武和金英姬在“等價形式的永恒性原理——皮考克的符號代數”一文中將其翻譯為“永恒性”;李宏魁在翻譯美國思想家M·克萊茵的《數學：確定性的喪失》一書時，將書中涉及的“permanence”一詞也翻譯為“永恒性”;郜舒竹分別在《關于“[（-8）13]”的跨國討論》與《數學課程中“人為規定”的思想性》這兩篇文章中介紹皮克科的原理時將其翻譯為“繼承性”。

《牛津高階英語雙解詞典（第6版·大字版）》[3]中對于這個詞的解釋是：一種持久的狀態。結合對原理的理解，運算性質和規則由算術領域擴展到代數領域的過程應該是一個動態的過程，所以對這個詞的翻譯除了要保留原有的意思外，還應該體現跨領域的動態過程。因此在對該原理進行闡述時，沿用郜舒竹教授提出的“繼承性”的翻譯，此后凡涉及“permanence”都將使用這樣的翻譯。

在19世紀，這一原理的形成標志著數學家對形成新數學概念的態度發生了變化，并為20世紀新理論的快速擴張開辟了道路。之后，這個原理隨著四元數的產生而失效，因為四元數沒有分配律。雖然同形繼承原理在數學上失去了“公信力”，但是同形繼承原理反映出數學家在建構數學理論時有一種“同形繼承”的心理。這種心理與學生在數學學習過程中遷移“形式”的學習心理是相符的。正是由于這種“同形繼承”的心理導致學生在數學學習中出現了遷移形式的學習現象，這種學習現象也可以稱為“同形繼承”的現象。其中有一類“同形繼承”的現象違背了同形繼承原理，它的內容與形式并不一致，這就導致學生在繼承形式的過程中出現了錯誤。因此，“同形繼承”這個詞用在可見的書寫形式上是一種現象，而導致這個現象出現的原因就可以叫作“同形繼承”心理。

二、同形繼承導致錯誤

學生在“數與代數”的學習中有四種比較常見的“同形繼承”類型，分別為：“一一對應”的繼承、從“個位”算起的繼承、“從左到右”的繼承和“分配律”的繼承。

（一）“一一對應”的繼承

“一一對應”的繼承，其特征表現為學生在數學學習的過程中遵循形式上的對應關系，將學習對象的構成元素進行有序的分配。

例如，觀察表1中的錯題。錯題1，學生在比較分數的大小時，均是分別將分數的分子與分母“一一對應”進行比較;錯題2，學生在比較小數的大小時，則是分別將小數的整數部分與小數部分“一一對應”進行比較。可見學生在計算分數比大小與小數比大小時都繼承了自然數比大小“一一對應”的形式，這種同形繼承的類型就是“一一對應”的繼承。

（二）從“個位”算起的繼承

從“個位”算起的繼承，其特征表現為學生在學習的過程中習慣于從“個位”開始思考問題。例如，在北師大版教材三年級下冊“分桃子”一課的教學中，教師首先為學生創設了猴媽媽給兩只猴子分68只桃子的情境，由此引發問題：怎樣分才公平？學生根據題意很容易就列出式子：68÷2=。之后教師讓學生用多種方法探索68÷2。在這個過程中學生有多種生成，表2所示的兩種生成符合“同形繼承”的特點。

通過表格的呈現可以看出，二者繼承的已有經驗不同：生成1繼承了學生已有的關于表內除法的經驗，生成2繼承了學生已有的乘法豎式的經驗。盡管生成1與生成2源于不同的已有經驗，通過對比二者繼承的具體內容可以發現，這兩種除法豎式的書寫思路實際上具有共同的形式：均是從個位開始試商，都符合從“個位”算起的形式。

（三）“從左到右”的繼承

“從左到右”的繼承，其特征表現為學生在數的運算過程中習慣于按照從左到右的順序進行思考。例如，圖1中的一元一次方程，等號左側是有乘法、減法和括號的混合運算，學生應該用乘法分配律進行計算。觀察學生解方程的步驟可以發現，學生解題的第一步是繼承了同級運算的運算順序，按照從左到右的順序進行計算。顯然，“6×7-x”與“6×7-6×x”相比在形式上更趨近于6×（7-x），因為它們元素的個數相同，這樣計算是追求形式上的一致。

（四）“分配律”的繼承

在“分數加減法”這節數學課中，教師發現學生有如圖2所示的生成，通過觀察該生的書寫可以發現他把加號分別分配給了分子和分母。

又例如，初一的學生在學習完全平方公式之后，做相應的計算題時會出現如圖3所示的錯誤。觀察學生給出的答案可以發現，該生是將指數“2”進行了分配，分別分配給了2x和y，可見學生繼承的已有經驗形式為：（2x+y）×2。

雖然以上是學生在不同的學段學習的不同內容，但是將學生的兩種計算思路進行整理可以發現二者有共同的地方。

如表3所示，學生在計算的過程中都是將同一元素分別分配給了另外兩個對象。由此可以發現，這樣的計算形式與學生學習過的乘法分配律的形式是一致的，因此可以將這種繼承的形式稱之為“分配律”的繼承。

三、“自我否定”的學習活動

由于數學學習中普遍存在“同形繼承”的現象，學生在學習中會產生“同形繼承”的心理。因此教師在教學設計之前首先應該清楚在新的學習活動中，學生的已有經驗是否會導致“同形繼承”心理的產生。針對這樣的心理，教師可以設計讓學生經歷“自我否定”的學習活動。

“自我否定”的學習活動是指在新知識的學習過程中，學生經歷自己否定自己的學習活動。在教學過程中，教師可以首先利用學生的“同形繼承”心理引發學生的錯誤推論，然后通過設計合理的學習活動讓學生自行判斷推論的正誤，而后再開展新知識的學習。這樣的學習活動是將學生的錯誤視為教學資源，讓學生在錯誤中學習。接下來，將結合人教版五年級上冊“平行四邊形的面積”的教學來介紹這種方法。

步驟一：利用“同形繼承”的心理引發學生的錯誤

學生在學習平行四邊形的面積時容易受長方形面積的影響，將平行四邊形的面積計算公式記成相鄰兩邊長度相乘。那么，教師在教學平行四邊形面積求法之前，可以利用學生的這種“同形繼承”的心理引發學生的錯誤推論：平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長度乘積。

步驟二：教師布置學習任務

教師可以布置學習任務，請學生分小組討論，比較兩個鄰邊對應相等的平行四邊形面積大小，并為學生提供畫有兩個平行四邊形的方格紙（如圖4所示）和直尺。

步驟三：學生經歷“自我否定”的學習過程

在活動的過程中，學生用直尺分別測量兩個平行四邊形的長邊和短邊，發現這兩個平行四邊形的長邊和短邊分別對應相等，學生根據推論就會認為這兩個平行四邊形的面積是相等的;然而學生在直接數格子的過程中又會發現，左邊的平行四邊形的面積明顯比右邊的平行四邊形大，由此學生就會發現自己的推論是錯誤的。

學生用兩種方法比較兩個平行四邊形的面積時會發現，盡管這兩個平行四邊形的相鄰兩邊長度一樣，但是實際的面積卻不一樣，進而否定了自己的推理。讓學生經歷自己否定自己的過程，能讓他們在沒有學習平行四邊形面積求法之前，就深刻地理解用求長方形面積的方法來求平行四邊形的面積肯定是不對的，同時還能激發學生想要學習平行四邊形面積求法的愿望。

從以上案例可以看出，學生通過這樣的學習活動，可以在自己否定自己的過程中加深對知識的理解。他們發現照“老樣子”做往往是不對的，進而引發“怎么辦”的心理需求，也就是產生了進一步探究的動機。

參考文獻：

[1]George Peacock.A Treatise on Algebra（Vol.Ι）[M]. London：Cambridge University Press，1830.

[2]M·克萊因.數學：確定性的喪失[M].李宏魁，譯.長沙：湖南科學技術出版社， 2007：206.

[3]霍恩比.牛津高階英語雙解詞典（第6版·大字版）[M].石孝殊，等，譯.北京：商務印書館，2005：1277.

（首都師范大學初等教育學院? ?100048）