培養抽象能力 提升數學核心素養

潘艷

[摘? ?要]抽象能力是數學核心素養的重要組成部分，培養學生抽象能力具有現實意義.

[關鍵詞]抽象能力;核心素養;數學

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）20-0025-02

抽象性是數學學科的基本特征之一，數學的抽象過程對發展人的思維能力，特別是理性思維能力起到重要作用.抽象能力可以幫助學生回歸概念和原理，突出強調概念和關系的重要性;可以使學生專注于課本概念，全面發展理性思維;可以幫助學生進行拓展，在實際應用中鍛煉自己的思維邏輯.

一、分析變量，確定取值范圍

抽象思維要求學生準確把握各個元素之間的關系.“變量”與“定量”問題是數學關系中的常見問題，“變量”和“定量”的關系通常蘊含在公式算法中，互為相關性，且“變量”和“定量”沒有明確的界限，可以相互轉化.只有明確了“變量”和“定量”的關系，學生才能從邏輯思維的角度出發準確地判斷出“變量”或“定量”的取值范圍，從而得出正確的計算結果.

例如，在教學《弧長和扇形面積》的過程中，學生需要重點掌握公式“[1°=nπR180°]”，為方便學生理解、利用這個公式，我從“變量”和“定量”的角度出發，設計了一個教學案例：“計算10米長的下水道（半徑R = 5 m）水深2米時所占管道的弧長.”在這個問題中，由水位的高低能間接計算出水面所占圓弧的弦的長度，也就是水面的寬度，即“水深”就是公式中的變量.考慮到這個問題以后，學生就能確定“變量”與“定量”的值，然后利用公式逐步計算出水面所占圓弧的角度n的值，最后根據本章的公式，逐步計算出弧長.這個問題很貼合實際，難點在于學生需要把水面的橫截面與扇形聯系起來，通過直角三角形的運算，得出角度.要在畫出正確的草圖和輔助線的前提下進行運算.

通過對常見問題的解決，學生能夠更深刻地了解到公式算法的基本步驟.在進行練習的過程中，學生可以發揮自己的聯想與想象能力，鍛煉自己的抽象能力，把抽象的事物在腦海中轉化成具體客觀的實物，從而調動自己的知識儲備，對題目進行剖析.確定“變量”的取值范圍是解題過程中關鍵的一步.

二、圖像轉化，加強數形結合

幾何問題重點是圖像和數字的結合.這就要求學生在觀察圖像的同時，把所學知識利用起來，分析圖像的內涵，把數字代入圖像，挖掘出題干的隱藏信息.學生還可以把抽象的圖像或者是生活中的例子與數學知識串聯起來，用數字和線條把這些圖像具體化，然后進行具體的運算和判斷.

例如，在《二次函數的圖像與性質》教學中，我發現學生掌握概念之后，根據圖像進行實際運算的效果比較差，于是我展開了一次專題訓練.在二次函數的一般式[y=ax2+bx+c]中，a、b、c是三個“變量”.在進行實際運算之前，學生需要了解這三個變量對于函數圖像和取值的意義.“a > 0”圖像的開口向上，反之，則開口向下;對稱軸[-b2a] > 0，則函數對稱軸位于y軸右側，反之，則位于y軸左側.以題目“函數[y=ax2+bx+c]的圖像與y軸交于點A（0，2），與x軸交于B（1，0）、C（3，0）兩點，問x = -1時，y是否大于0？”為例，在這道題目中，該函數與y軸交于點A（0，2），即c = 2，對稱軸為x = 2，即[-b2a] =2，然后把三個點代入方程式，我們就可以求得該函數的解析式.根據我們分析的結果，對稱軸位于y軸右側，且a > 0，即當x < 2時，函數逐漸降低;x > 0時，函數逐漸上升，然后把-1代入方程式中，求得y值大于0.

在二次函數中，圖像占到很大比例.學生只有掌握了圖形的運算技巧，充分考慮到圖像的邏輯性以及各個變量的相互關系，才能更好地掌握數形結合的要旨，從而更好地進行二次函數的數學運算.數形結合的考查方式，不僅鍛煉了學生的邏輯思維，考驗學生的獨立思考能力，也使學生能夠充分地發揮聯想和想象，從理性思維的角度出發，進行抽象能力的培養.

三、聯系生活，把握結構關系

數學元素結構關系的把握往往需要從實際生活出發.幾何問題也是生活中常見的問題. 其中，三角函數在生活中的應用相當廣泛.學生需要抽象能力來理解題目的含義，把抽象的事物具體化，挖掘題目的內涵，并把獲得的信息用數字和線條表示出來，然后進行具體的數學運算.

例如，在《銳角三角函數》這一節的“閱讀與思考”這個版塊中，學生不僅需要掌握正弦值和余弦值的定義，還要掌握一些常見的三角函數值.如“[sin30°=cos60°=12]，[cos30°=sin60°=32]，[sin45°=cos45°=22]”.但是我發現在實際問題中，往往需要學生自己繪制模式圖，對角度描述進行具體分析.如北偏東60°、南偏西45°等都是在實際問題中會遇到的方向表述術語，學生仍需要在實際問題中根據實際情況進行分析.如，經典的高度問題：“在A點測得建筑物CD的仰角為60°，B點測得建筑物CD的仰角為45°，已知AC = 60 m，AB = 20 m，求建筑物CD的高度.”根據題目，我們可以得出一個等量關系：AC-BC=AB，即CDcos60°- CDcos45° = AB.有的學生把建筑物CD的高度設成x，就可以得到[12x-22x=20]，然后就可以得出建筑物CD的高度.學生需要把握的關鍵點是三角形ACD和三角形ABD共用CD這條邊，然后根據題目的信息進行圖像和數字的轉化，利用三角函數得出等量關系.

利用數學知識來解決實際生活中的問題，不僅能夠幫助學生理解所學的知識，還可以發展學生的數學思維.學生根據題目進行抽象的同時，還要準確地把握題目的要點.對于三角函數這類問題的思考，既可以幫助學生熟練運用正弦值和余弦值的定義，還可以幫助學生了解更多的生活常識.

四、類比聯想，拓展思維空間

類比與聯想，需要學生有較好的空間想象能力.類比聯想在幾何問題中的應用十分廣泛.比如，三角形定義中的相似三角形和全等三角形，需要學生具備一定的抽象能力，以三角形的概念和定義為尺度來看待問題.只有學生具備了一定的抽象能力，才能用最簡潔的語言對幾何問題進行推斷和證明.

例如，在《投影和視圖》教學中，學生需要掌握三視圖和投影問題的部分計算知識.但是在學習過程中，我發現一些學生對于投影問題的理解有一些疑惑，于是我開展了一次講座，主要給學生講解一些投影問題的解題方法.以題目“圓桌正上方的燈泡發出的光線照射到桌面后，在地面上形成圓形陰影，已知燈泡距離地面2.4 m，桌面距離地面0.8 m（桌面厚度不計），若桌面面積為1.2 m2，則地面上陰影的面積為多少？”為例，在題目中，我們發現陰影部分的面積可以通過燈泡、桌面與地面的高度比例計算出來.如果把畫面轉化成一個平面圖形，實際上就是相似三角形求比例的問題.但是在結果計算上要注意面積之比是底面半徑之比的平方.按照比例，學生能夠求出一個面積，那么這個面積就是地面陰影的面積，這樣問題也就迎刃而解了.

學生具備一定的空間想象能力對于解決幾何問題具有重要意義.相似三角形在幾何問題中的遷移范圍很大，除了投影問題中會有所涉及，在證明問題中也十分常見.學生只有掌握了一定的聯想與想象能力，才能對題目進行抽象，進一步進行推理和證明，才能游刃有余地解決幾何問題.

抽象能力的培養對于發展學生理性思維，拓展學生思維空間有很重要的作用.學生只有具備一定的抽象能力，才能更好地學習數學，才能有效提升自身的數學核心素養.

（責任編輯 黃桂堅）