基于數學核心素養的《弧度制（1）》教學設計及反思

高斌

[摘? ?要]通過現實情境，引入弧度制;將現實情境轉化為數學情境，提出問題，尋求弧度制;建立數學模型，確定模型中數學變量，研究變量間的關系;通過檢驗模型和應用模型，統一角與數的度量單位，實現角的集合與實數集合的一一對應.這些都是提高《弧度制》教學效率的有效措施.

[關鍵詞]數學核心素養;弧度制;教學設計;反思

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）20-0008-03

一、教材分析

《弧度制》是普通高中課程內容.引入一種新的角的度量方法——弧度制，承接于《任意角的概念》，為擴充后的角度提供了一種更為方便的表示方法，也為后面的三角函數的知識學習打下基礎.《弧度制》計劃安排兩課時，本節課《弧度制（1）》是第一課時.

二、學情分析

1.學生的知識儲備是角度制，由于角的概念的推廣，學生對角度的范圍有了新的認識.現在要引入弧度制，就需要讓學生理解為什么要引入弧度制，即學習弧度制的必要性.

2.學生普遍缺乏創造性思維，通過“切圓周角”來定義角度制，可以類似的“切弧長”來定義弧度制，更好地理解弧度制的概念.

3.對于新定義的概念，學生需要結合已學知識，熟練角度制和弧度制的互化，認同弧度制，感受弧度制的優勢.

三、教學目標

1.通過情境問題，感受引入弧度制的必要性.

2.類比角度制的定義，經過弧長和半徑比值體驗探索，理解1弧度的角和弧度的意義.

3.能正確進行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度數.

4.結合任意角的知識，了解角的集合與實數集R之間建立的一一對應的關系.

5.能正確運用弧度制解決終邊相同的角、象限角等有關問題.

四、教學策略分析

本節課的難點在于理解弧度制引入的必要性.教師應該采用探究式教學方法，利用課件設置情境，讓學生感受以往角度制六十進制計算的不便，以及角度制解決一些問題的局限性，讓學生發現問題、提出問題，迫使新定義一個度量來描述角的大小.利用幾何畫板和GeoGeobra數學軟件，動態展示扇形、圓中弧長與半徑的比值和對應圓心角的大小，控制變量，發現兩者之間的變化關系，結合生活中常用的十進制，思考并尋求弧度制的可行性，理解1弧度的角和弧度的意義.

五、教學過程

（一）課前準備

1.已知半徑為[r]的圓中，圓心角[α=n°]對應的弧長[l]，根據已學知識完成下表.

2. 角度制的概念，[11°15=]? ? ? ? ?°，[20°12′36=]? ? ? ? ?°.

3. 生活中有哪些不同的度量單位？如：長度可以用米、厘米、英尺、碼等不同的單位度量.

1米=100厘米=3尺=3.2808399英尺=1.0936133碼.

4. 情境：

（1）戰場上，迫擊炮連在占領陣地后，測得敵人兩地堡的間隔是50米，地堡離我方炮連陣地的距離是1000米，為了確保炮兵戰士立刻以猛烈的炮火摧毀第一個敵堡后，隨即轉動迫擊炮，摧毀另一個敵堡，如何快速測量或者算出迫擊炮對兩敵堡的張角（即迫擊炮轉動的角度）？

（2）射擊運動員快速、準確地移動槍支射擊移動的目標.運動員根據經驗判斷離移動目標的距離.那么目標移動的距離如何快速判斷？如何計算直接影響運動員移動槍支的角度？

（3）如果想利用導航，則需知曉小船實時所處的經緯度.然而使用量角儀器測量是較為困難的.在已知行駛距離和地球半徑的情況下，能度量[θ]的大小嗎？

5. 查閱資料，了解六十進制、十進制和圓周率的概念.

【設計意圖】熟悉角度制，作為本節課的知識儲備，感受角度制六十進制計算的不便.設計情境，體現角度制解決問題的局限性，體現引入弧度制的必要性.

（二）課堂互動

問題1：探究角、半徑和弧長之間的關系.

角可以看作平面內射線繞端點旋轉形成的圖形，取不同長度作為半徑，觀察相應的弧長變化.

給定一個圓，如果圓心角不變，改變圓的半徑，觀察弧長的變化趨勢，思考：弧長與半徑比值如何變化？

結論：角不變時，半徑不同，弧長與半徑成正比例，并且弧長與半徑的比值不變.

特殊[?]一般，是否依然有這樣的關系？操作課件演示，答案是肯定的.

問題2：問題1中，如果只改變角的大小，觀察弧長和半徑的比值如何變化.

結論：此時弧長與半徑的比值依然不變，所以對于一個角，角的大小與半徑無關.

問題3：當角[α=n°]是定值時，[lr]也是定值，兩個定值之間有什么關系？類比角度制中[1°]，是否可以新定義1弧度，如何定義？

結論：角[α]大小與[lr]同步變化且成正比關系，它們一一對應.為了便于計算和度量，選取[l=r]時作為一個單位來度量角的大小，取名“弧度”，此時記為“1弧度”，而[lr]是一個實數，不同于原來的角度制，用[lr]的大小來作為角的弧度數，這樣就實現了角的弧度數可以用實數表示，新定義為弧度制.

弧度制概念：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1弧度（radian）的角，記作1 rad.

用弧度作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制.

推廣到任意角：按逆時針方向旋轉形成的角叫正角，按順時針方向旋轉形成的角叫負角，沒有旋轉的角叫零角.正角的弧度數是正數，負角的弧度數是負數，零角的弧度數是0.

【設計意圖】利用幾何畫板和GeoGeobra數學軟件，動態演示扇形、圓中弧長與半徑的比值和對應圓心角的大小，控制變量發現兩者之間的變化關系，思考并尋求弧度制的可行性，體現了數學建模的核心素養.

類比角度制“切圓周角”來定義角度制，可以類似的“切弧長”來定義弧度制，體現了數學推理、直觀想象和數學抽象的核心素養.

至此可以利用弧度制解決課前準備中的情境問題，根據距離的大小和比值判斷角度的大小，體現出弧度制的優越性.

問題4：角度制和弧度制的關系及換算.

常見特殊角的弧度：

問題5：終邊相同的角和象限角的弧度制如何表示？

與角[α]終邊相同的所有角的集合： ____________; 終邊落在y軸的正半軸上：_________________;終邊落在x軸上：______________________;第一象限角：___________________________.

【設計意圖】 熟練角度制和弧度制的互化，體會弧度制帶來的便捷感，體現了數學運算的核心素養.

六、歸納總結

1.? 1弧度的意義、弧度制的概念.

2.用弧度制來度量角的大小.

3.角度制和弧度制的換算.

4.弧度制解決問題及其優勢.

七、課后作業

1. 完成學案4-102課后作業;

2. 預習學案4-103.

八、教學反思

（一）本節課設計的優點

1. 通過角度制計算的煩瑣及角度制解決問題的局限性，引出引入弧度制的必要性.學生通過觀察動態課件，思考并尋求弧度制的可行性，發現問題，解決問題，抽象出弧度制的概念，體現了數學抽象的核心素養.

2. 通過“切圓周角”來定義角度制，可以類似的“切弧長”來定義弧度制，展開探究，發揮學生的主觀能動性，體現了邏輯推理的核心素養.

3. 角度和弧度之間的換算，弧度制的簡單應用，感受弧度制的優越性，體現了數學運算的核心素養.

4.從發現問題到解決問題，從必要性到可行性，從已知到未知，從未知到已知，合理設計每個環節，以“問題串”的形式循序漸進地引導學生.

5. 以“問題串”的形式引發學生合理地思考，充分發揮學生的主觀能動性，體現“問題引導、素養優先、學生本位”的課堂教學.

（二）教學中應注意的問題

1.情境問題的引導，如何將問題的困難往距離和距離比值上引導，還需要更多地了解學生的學習基礎和思維方式.

2. 為了更好地讓學生類比角度制理解1弧度的概念，在對角度和弧度進行互化時，若學生出現將弧度與角度混用的情況，教師應及時地更正并強調書寫規范;用弧度制度量角時，如果結果含有[π]，如無特別要求，直接保留[π]的形式，但應明確這里的[π]依然是一個實數.

3. 在動態課件演示過程中，引出弧度制概念時，應與學生多加互動，注意數學語言及提問的技巧，更好地引導學生思考.

（責任編輯? ?黃桂堅）