基于核心概念的數學測評解析與教學建議——以重慶市2018年中考數學試題（A卷）為例

張 斌，茍斌娥

基于核心概念的數學測評解析與教學建議——以重慶市2018年中考數學試題（A卷）為例

張 斌1，茍斌娥2

（1．重慶市教育科學研究院，重慶 400015；2．重慶市禮嘉中學校，重慶 401122）

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出了10個核心概念，如何體現課程標準與課堂教學、考試評價之間的一致性已經成為廣大教育工作者重點關注的問題．2018年重慶市中考數學試題堅持以《課標》為準繩，考試說明為指引，突出考查數學素養和學習能力，對學生的數感、符號感、運算能力、分析與解決問題的能力進行全面考查．通過對典型試題中學生常見錯誤的分析，提出基于考情研究的教學改進策略：立足課程標準，深入剖析教材；摒棄題海戰術，重視知識本質；淡化解題技巧，注重通性通法；重視數式通性，提高數學運算能力；培養符號意識，提高數學表達能力；滲透數學思想方法，提高邏輯推理能力；加強教師示范性，規范答題書寫格式．

核心概念；考試評價；中考

1 問題提出

隨著新課程改革的不斷深入，基于課程標準的教學與評價逐漸被越來越多的教育者所重視，人們逐漸以課程論的眼光重新審視數學課程的價值和功能，并以此來改進課堂教學[1]．為了實現教學評價的一致性，部分研究者逐漸從評價領域思考如何依據課程標準設計課堂教學評價工具，如何依據試題研究改進課堂教學等問題．中考作為課程實施評價的一個重要途徑，應該發揮出其評價和導向功能，引導課堂教學，關注數學素養的培養．

2 試題概述

2.1 試卷整體特征

2018年重慶市中考試題滿分150分，考試時間120分鐘，客觀題12個，共42分；主觀題14個，共102分．試題內容在“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”所占百分比分別為52%、38%和10%，與教材安排的課時比例基本相同．每種題型都遵循由易到難的原則，層次分明，很好地體現了畢業和選拔兩大功能．在堅持試題的原創性與公平性，體現數學科學性和生活化特征的前提下，從估計二次根式的近似值到運算程序的設計，從折疊圖形相關角與線段的計算到直線平移與坐標軸交點的取值范圍，從營養粗糧的比例搭配到美麗鄉村建設的經費配比，從平行四邊形中相關線段關系的證明到閱讀理解中用字母符號對代數式中特殊規律的探究等都加大了數學思想方法和運算能力的考查，進一步凸顯數學思維能力和數學應用意識．整套試題以考查學生數學素養和學習能力為中心，對學生的數感、符號意識、運算能力、推理能力、分析與解決問題的能力等進行了全面考查，對今后初中數學教學具有很好的導向作用，在從標準到評價的轉化方面做了有益的探索．

2.2 試卷考查知識點分布

該套試題對初中數學學習中的核心知識進行了重點全面的考查，如方程與不等式考查了一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式（組）等全部內容；函數中的正比例函數、一次函數、反比例函數、二次函數也進行了全面考查．幾何中平行線與相交線、三角形、四邊形、圓全覆蓋，軸對稱、平移、旋轉、相似變換全展示．統計與概率結合實際生活呈現．由此可知，該套試題注重核心知識、核心能力、基本思想的考查，其中以主觀題考查更為突出，這里以主觀題為例，分析出主觀題的考試內容、內容領域、核心概念指向，具體見表1．

2.3 試卷得分情況統計

2018年重慶市參加聯招考試人數為40?185人，根據閱卷情況，統計出重慶市2018年中考數學試卷（A卷）主觀題得分情況，具體見表2．

由表2可知，從整體上來看，該次中考主觀題平均分為62.55分，得分率為0.61，相比近幾年，得分率較低．從單個試題來看，學生在考查“雙基”試題的得分率還是比較高的，而在觸及數學基本思想方法的綜合考查問題上得分并不理想．

表1 主觀題知識點分布及核心概念指向

表2 2018年中考數學試卷（A卷）主觀題得分情況

3 典型試題分析

每道試題都承載著不同的基礎知識、基本技能、基本思想，由此歸納出重慶市2018年中考試題考生作答的主要錯誤，以期為教學提供參考．

3.1 符號意識的考查

試題分析：符號意識主要指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行運算和推理[2]．符號意識有助于學生進行數學表達和數學思考，它能在沒有數學的地方發現數學問題，在有數學的地方發現新的數學問題．該題主要考查了學生用字母表示數，并通過計算、探究代數式中的特殊規律，進而求出滿足要求的特定的數．該題需要學生有嚴密的思維能力，對學生的數學抽象、數學運算、邏輯推理要求較強．

學生作答典型錯誤分析：

（1）題意理解不清，很多學生在直接寫出任意“極數”時寫錯位．

（2）用字母表示數時，沒有寫出字母的取值范圍，或雖寫出范圍，但千位上數字的取值范圍沒有舍去0．

（3）對代數式1?000+100+10(9-)+(9-)進行化簡時符號出錯，得出990-99+99．

（4）不會正確求解不定方程．

3.2 推理能力的考查

題目24題，如圖，在平行四邊形中，點是對角線的中點，點是上一點，且=，連接并延長交于點．過點作的垂線，垂足為，交于點．

學生作答典型錯誤分析：

（2）在第二問中，學生很難由角的關系推導出=，導致作出輔助線后也無法證明全等，得出結論．

3.3 模型思想的考查

題目23題，在美麗鄉村建設中，某縣通過政府投入進行村級道路硬化和道路拓寬改造．（1）原計劃2018年1—5月，村級道路硬化和道路拓寬的里程數共50千米，其中道路硬化的里程數至少是道路拓寬里程數的4倍，那么，原計劃2018年1—5月，道路硬化的里程數至少是多少千米？（2）到2018年5月底，道路硬化和道路拓寬的里程數剛好按原計劃完成，且道路硬化的里程數正好是原計劃的最小值．2017年通過政府投入780萬元進行村級道路硬化和道路拓寬的里程數共45千米，每千米的道路硬化和道路拓寬的經費之比為1:2，且里程數之比為2:1．為加快美麗鄉村建設，政府決定加大投入．經測算，從2018年6月—年底，如果政府投入經費在2017年的基礎上分別增加10%（>0），并全部用于道路硬化和道路拓寬，而每千米道路硬化、道路拓寬的費用也在2017年的基礎上分別增加%和5%，那么道路硬化和道路拓寬的里程數將會在2018年1—5月的基礎上分別增加5%和8%，求的值．

試題分析：模型思想是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑[2]．該題主要考查了用方程和不等式模型解決實際問題，需要學生正確列出一元一次不等式和一元二次方程，才能正確解決問題．該題具有一定的難度，需要學生具有較強的閱讀理解能力．

學生作答典型錯誤分析：學生錯誤主要集中在兩個地方，第一問中，在設未知數時易出現“至多”“至少”；或用列方程代替列不等式；或雖然列出不等式，但不等號的方向弄反．第二問中，學生對各種量之間的關系理解混亂，經常出現張冠李戴的現象，列不出正確的方程，比如，求出的道路硬化和道路拓寬的距離為30和15．

3.4 空間觀念的考查

試題分析：空間觀念不僅指根據物體特征抽象出幾何圖形，也包括描述圖形的運動和變化．該題為一次函數的綜合題，考查了平移、待定系數法、一次函數的圖象和性質等．在求解過程中，可以利用一次函數的性質求解，也可利用相似三角形求解，方法靈活多樣．

學生作答典型錯誤分析：

（1）第一問求解析式中，學生不能將“兩直線平行”成功轉化成“值相等”，而是設出直線的解析式，通過尋找直線與軸的交點的坐標，利用、兩點坐標，使用待定系數法求解析式；但在求點的坐標的時候，大部分同學是直接給出的，沒有任何過程．出現這種情況，一方面可能是猜測的，另一方面也可能是知道怎么來的，但是不會表達．

3.5 運算能力的考查

試題分析：運算能力主要指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力．數學運算能力是數學學科核心能力之一，它是一種重要的數學素養．培養運算能力有助于學生尋找簡潔的運算途徑解決相關問題，對于發展學生的數感，改善學生的思維品質，培養學生數學思維能力、探索能力、創新能力都起著重要的作用[4]．運算作為數學學習的基本能力之一，是中考數學考查的重要內容之一．中考試題里對運算能力的考查是不會以故意增加計算量，題目偏難、古怪的方式出現，而是注重對運算律、運算法則等通性通法的考查．該題主要考查了多項式乘法法則、平方差公式、因式分解、通分、約分等，主要考查學生是否理解運算對象，是否掌握了運算法則，能否選擇運算方法求得正確的運算結果．

學生作答典型錯誤分析：通過觀察學生的答題情況，學生出現的主要錯誤為：

3.6 數據分析觀念的考查

試題分析：數據分析是指針對研究對象獲取數據，運用統計方法對數據進行整理、分析、推斷，形成關于研究對象知識的素養[1]，數據分析是統計的核心．該題考查了統計的基礎知識、統計圖的讀圖能力、通過列舉法求隨機事件概率的計算等．

學生作答典型錯誤分析：該題為容易題，所以大部分學生是全部掌握了的，少部分學生出現的錯誤主要出現在用列舉法求概率，沒能理解到簡單隨機抽樣的原理，在畫樹狀圖時，第一次選取到的對象在第二次選取時又出現了．

4 教學建議

針對學生作答典型錯誤情況分析和《課標》要求，提出如下教學改進策略．

4.1 立足課程標準 深入剖析教材

從近年來的中考試題來看，中考試題的命制一直都是以《課標》為準繩，以考試說明為指引，兼顧人教版、北師版、華師版3個版本的教材，突出考查數學素養和學習能力，對學生的數感、符號感、運算能力、分析與解決問題的能力進行全面考查．由于中考試題具有畢業和選拔兩種功能，所以很大一部分中考試題都考查的是學生的數學基本功，相當一部分試題是直接由課本中的例題、習題改編而成．例如，2018年稍微有點變化的選擇題第3題樣本的代表性，第5題相似問題，第7題估計等都是基于教材習題改編而成的．在教學中，教師要深入解讀教材，理解教材中所蘊含的數學內涵以及從學生角度制定教材的初衷．從而運用教材使學生實現由不知到知的轉變，加強學生基礎知識的學習、基本技能的訓練、基本方法的感悟、基本活動經驗的積累．加強對教材中典型例題和習題的引申和拓展，做到一題多變、一題多解、舉一反三、靈活運用．

4.2 摒棄題海戰術 重視知識本質

在數學教學的過程中，知識的產生與發展過程是學生理解知識本質的重要途徑之一，學生需要通過教學活動，通過觀察、比較、分析、推理等過程來實現對知識的內化．因此，教師在日常教學中要放棄題海戰術，開展基本數學活動，予以學生獲取相關經驗的機會，進而培養學生分析和解決問題的能力，引導學生發現和提出有價值的問題．長期下去，才能使學生的思維能力得到提高，綜合解題能力有所提升．

4.3 淡化解題技巧 注重通性通法

解題通法是指一類問題的通俗解法或一般解法，通法常常從基本概念、原理出發，以基礎知識為依托、以基本方法為技能，按照既定的步驟，逐步推出問題和解答，解法思想順乎一般思維規律，其具體操作過程易于為多數學生所掌握[5]．當前初中數學解題教學中出現了一種怪象，老師們重講解不重原理，重結果不重思維分析過程，重技巧不重通法．久而久之，學生忘記了解題的根本，不會思考問題，只會套用一個又一個的模型和技巧去解題，因而當中考試題稍稍改變，這些同學就在考場上敗下陣來．章建躍曾指出，解題教學中要使學生逐步養成從基本概念、基本原理及其聯系性出發思考和解決問題的習慣，這是發展學生思維能力的正道．因此，在教學中，教師要注重知識與知識之間的聯系，構建知識體系，用系統性思維培養學生的解題能力．

4.4 重視數式通性 提高數學運算能力

運算能力是學好數學的基本功，初中階段無論是數的運算還是代數式運算都是后續學習的基礎．2018年，重慶市中考試題加強了對運算能力的考查，第7題估計考查了根式的運算，第8題程序框圖考查了代數式求值，第12題考查了含參數的不等式和分式方程的計算，第13題考查了有理數的運算，第21題考查了整式的運算、因式分解、分式的運算，第23題考查了解方程與不等式等．然而從學生的答題情況來看，學生的運算能力還是較為薄弱的．究其原因，可能是平常教師教學中主要關注了運算的速度和正確性，采用了大量重復的練習，而忽視了對算理的理解，導致學生不管怎么練習還是容易出錯．因此，提高學生的運算能力，使其能夠合理、準確、高效、靈活地運算，應該成為數學教學的關注點，通過典型例題讓學生在理解運算對象、掌握運算法則、選擇運算方法、簡化運算過程以及估算等方面得到相應的發展．

4.5 培養符號意識 提高數學表達能力

符號既是數學的語言，也是數學學習的工具，更是數學學習的方法．數學符號使得數學從算術領域過渡到代數領域，實現了數學思維從形象思維到抽象思維的發展．符號意識作為初中數學十大核心概念之一，是指能夠理解并運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性．建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式[6]．由此，學生的符號意識培養應該是義務教育階段的重要教學目標之一．但從25題閱讀理解題的答題情況來看，有部分同學還不習慣用符號表示數量關系，缺乏選擇恰當符號解決具體情境中問題的能力，對于用符號進行運算和推理顯得更加困難．

因此，在數學教學過程中，教師要加強對符號的解釋以及符號化語言的講解，注重3種語言之間的準確轉化，及時糾正學生符號認識中的錯誤．同時，教師在教學中也要注重培養學生選擇恰當符號解決數學問題的能力、靈活使用符號準確運算的能力，以及對符號運算的正確性做出判斷的意識．幫助學生建構數學知識體系，強化符號意識．

4.6 滲透數學思想方法 提高邏輯推理能力

數學思想作為數學文化的核心，在數學教學中是無處不在的．初中階段的數學思想方法主要有抽象思想、方程思想、函數思想、數形結合思想、分類討論思想、推理思想、化歸與轉化思想、類比思想、建模思想、換元法、整體代換法等．近年來，中考試題也越來越重視對數學思想的考查．以2018年重慶中考試題為例：第4題找規律考查了歸納推理；第10題測量旗桿的高度考查了抽象與模型思想；第11題反比例函數、12題求滿足條件的參數的值考查了數形結合思想；第18題考查了模型思想和整體代換思想；第23題考查了方程思想和換元法；第25題、26題考查了分類討論思想等．由此，初中數學課堂教學中滲透數學思想方法顯得尤為重要．

數學思想方法是在獲取知識、形成技能、解決問題的過程中形成的，因此，教學中要注重知識的形成過程，特別是概念、定理、公式的推導過程和例題的求解過程．讓學生在主動探究、解決問題的過程中領悟數學基本思想，積累數學基本活動經驗．

4.7 加強教師示范性 規范答題書寫格式

必要的板書有利于實現學生的思維與教學過程同步，有助于學生更好地把握教學內容的脈絡．

總之，在中考數學中，學生展現出答題時的常見錯誤，且這些錯誤也是近幾年來一直出現的錯誤．在教學中，針對學生的易錯點，應該采取措施進行積極改進，幫助學生改正錯誤，實現數學學科核心素養的提升．

[1] 張惠英，王瑞霖．基于核心素養的數學測評研究——以河北省2017年中考數學試題為例[J]．數學教育學報，2017，26（5）：31-35．

[2] 中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2011年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2012：6-7．

[3] 董林偉，喻平．基于學業水平質量監測的初中生數學核心素養發展狀況調查[J]．數學教育學報，2017，26（1）：7-13．

[4] 李會鴿．初三學生數學運算能力現狀調查研究[D]．蘭州：西北師范大學，2016：1．

[5] 齊威娜．對中學數學解題通法的研究[D]．長春：東北師范大學，2008：1．

[6] 羅增儒．核心素養與課堂研修[J]．中學數學教學參考，2017（8）：14-20．

Mathematical Evaluation Analysis and Teaching Suggestions Based on the Core Concepts——Taking the 2018 Junior High School Entrance Examination Mathematics Test (A Volume) in Chongqing as an Example

ZHANG Bin1, GOU Bin-e2

(1. Chongqing Research Academy of Education Sciences, Chongqing 400015, China;2. Lijia Middle School, Chongqing 401122, China)

put forward 10 core concepts. How to embody them the consistency between curriculum standards and classroom teaching and examination evaluation had become a question of gradual thinking in the field of evaluation. The entrance examination of mathematics in Chongqing 2018 persisted in the curriculum standard as the criterion and guidelined as the examination instructions. Mathematical literacy and learning ability, sense of number, symbolism, computing ability, analysis and problem solving ability to conduct a comprehensive examination. Based on the analysis of the common mistakes of typical middle school students, this paper put forward the teaching improvement based on the research of situation: in-depth analysis of textbooks based on curriculum standards; abandon so much tactics, and pay attention to the knowledge; weaken skills of problem solving, pay attention to generality; pay attention to the generality of number formula, to improve the ability of mathematical operation; and to improve the ability of mathematical expression; and to infiltrate mathematical thinking methods and improve logical reasoning ability; to strengthen teachers exemplary and standardized writing formation.

core concept; test evaluation; junior high school graduation exam

2019–03–15

重慶市教育科學“十三五”規劃2017年度規劃課題——培養初中生發現數學問題能力的實踐研究（2017-39-575）

張斌（1965—），男，四川梓潼人，高級教師，主要從事中學數學教學與評價研究．

G632

A

1004–9894（2019）04–0061–05

張斌，茍斌娥．基于核心概念的數學測評解析與教學建議——以重慶市2018年中考數學試題（A卷）為例[J]．數學教育學報，2019，28（4）：61-65．

[責任編校：周學智、陳漢君]