用“問題提出”診斷和評估數學教師的概念性理解

姚一玲徐冉冉蔡金法

用“問題提出”診斷和評估數學教師的概念性理解

姚一玲1，徐冉冉2，蔡金法2，3

（1．杭州師范大學 教育學院，浙江 杭州 311121；2．西南大學 數學與統計學院，重慶 400715；3．特拉華大學 數學系，紐瓦克 19716）

對數學知識的程序性理解和概念性理解一直以來都是數學教育領域的重要研究內容，然而直至今時關于這兩類理解的關系研究仍然沒有明確的結論，尤其是從具體可操作的方法入手診斷和評估學習者的數學理解情況．研究采用對學生代數發展非常重要的分數除法內容作為工具，從分數除法的計算、作圖表示分數除法的解答過程、以及對給定分數除法算式提出數學問題等3個角度，了解教師對分數除法的概念性理解情況．研究發現，分數除法問題是了解教師數學理解情況很好的知識內容；教師對分數除法意義的概念性理解較為缺乏；以及“問題提出”是一種診斷和評估教師數學理解的有效手段．

問題提出；概念性理解；數學教師；診斷與評估

近年來，世界各國在各個教育層次的研究或課程標準中都非常重視將問題提出融入到學校數學教學[1-3]，然而，關于問題提出的研究卻依然較為缺乏[4-5]．而且，一直以來問題解決都是被用于評價學生數學學業水平的主要工具，而問題提出作為一種非常重要的數學能力甚少有人用來了解學生的數學理解情況．Cai和Hwang指出，問題提出是了解學生數學思維和理解的一扇窗戶[6]．已有研究指出，問題提出既可以作為一種教學目標，也可以成為一種教學手段[7]．作為一種教學手段，問題提出既能促進學生的數學學習，還可被用于了解學生學習過程中的數學理解．因此，研究者將采用一道分數除法問題考察教師在問題提出中表現出的數學理解，以期從教育評價層面了解問題提出對診斷和評估學習者數學理解的作用．

1 理論基礎

1.1 概念性理解和程序性理解

由于近些年大部分數學教育領域的研究都只關注學生的數學成績，因此，各類教育改革運動逐漸開始強調數學理解的重要性．例如NCTM提出，學生必須通過理解的方式學習數學，才有助于他們在不同情境中靈活運用知識[8]．因此，NCTM強調教師必須要知道并能夠深入理解他們所教的數學．

在數學教育領域，對知識的理解一般包括概念性理解和程序性理解，也稱為概念性知識和程序性知識[9]．概念性知識指的是，一個領域的概念及其相互關系的知識[10]，NRC（The National Research Council）將數學的概念性理解定義為對數學概念、運算及其相互關系的理解[11]．已有實證研究通過考察概念性知識或概念性理解的變化發現：新手的概念性知識或理解通常是碎片化的，需要對所學內容進行進一步的整合才能達到真正的理解；專家的概念性知識或理解會持續不斷的擴展并能夠被很好地組織起來[12]．程序性知識指的是，執行連續性的操作以用于解決問題的能力[10]．它需要一系列的步驟或執行過程才能最終達成解決問題的目的．程序性知識或理解包括：（1）算法——使用一系列既定步驟最終得到正確答案的過程；（2）解決給定問題所使用的恰當的和系列的行為步驟（如解方程的步驟）．Wu認為程序性理解只是讓學生應用規則，而并沒有提供給學生理解規則背后的概念性意義的機會[13]．

關于這兩類知識的研究主要分為4種．第一種是概念先行理論，這一理論假設兒童最初獲得的是概念性知識[14]．第二種是程序先行理論，兒童最初掌握的是過程性知識[15]．第三種是概念性理解和程序性理解是相互獨立發展的．當然，也有持第四種觀點的研究者認為：這兩類理解或知識也不完全能夠分得開[16]．他們認為二者的因果關系是雙向的，也就是說，如果個體的概念性理解或知識越好，就會產生更好的程序性理解或知識，反之亦然[17]．研究者們普遍更認同第四種觀點，即概念性知識和程序性知識不能夠完全分開，它們是相互作用的關系．同時，必須承認要用特殊的方法來描述學習者所達到的程序性和概念性理解，因為會程序性操作并不意味著有概念性的理解[8]．

總的來說，為了概念性理解的數學教學是數學教育的一個基本目標[8，18]，為了有效開展概念性理解教學，教師需要對數學概念有更為深入的理解[19-20]．

1.2 利用分數除法考察學習者對數學概念的理解

分數運算之所以如此難以理解或易于出錯，主要是因為分數及其運算具有非常豐富的內涵．因此，分數運算及其與其它數的運算之間的關系也很復雜．要理解分數及其運算，首先需要對整數除法的算理有很好的理解[28]．分數除法的意義與整數除法意義相同，都包括兩個方面，即等分除和包含除．等分除意指將被除數按照除數大小進行等分或平均分，能分得幾份，商就為幾；包含除意指被除數中含有多少個除數．相較于等分除中所得份數可能會小于1或不是整數，包含除則更易于學習者理解分數除法的意義．

分數運算能夠讓學生了解到算術運算會隨著數字的變化而產生完全不同的結果．如自然數的除法運算結果一定小于被除數，而分數的除法運算卻不一定．在分數除法的運算過程中，通常是先調換除數的分子和分母，再用被除數乘以調換后的除數．而這一過程卻掩蓋掉了分數除法的概念性內涵，也讓教師和學生容易忽略掉程序性知識背后的概念性知識．因此，分數的運算不僅需要對算術計算算理的理解，尤其是不同數的乘除法運算，還需要更為深入的代數理解[23]．

然而，還有研究顯示，8年級學生和大學生在比較分數的大小方面都存在一定問題[29]．這說明，學生并沒有很好地理解整數除法的意義和分數作為一種數的含義．盡管數學教師和研究者對此有了很多的關注，但依然有很多學生不能很好地掌握分數的運算[30-31]．這與教師自身對分數運算的內涵理解存在偏差不無關系．也有研究表明，中國職前教師對分數除法意義的理解也較差[32]．而且，由于分數本身存在多種概念和含義，具有豐富的教學功能[33]，加之教師對分數及其運算的概念性理解非常有限[34-35，25]，所以研究者采用分數除法運算來考察教師對數學概念的理解．

1.3 問題提出與數學理解

在數學課堂上運用問題提出任務有助于揭示學生的數學思維，而教師越了解學生的知識水平和思維方式，越能夠給學生提供更多學習機會，從而促進數學學習[36]．已有研究表明，教師的問題提出能力與其對數學概念的理解程度存在顯著相關性，問題提出既可以作為了解學生和教師對數學概念的理解類型和程度的手段，也可以促進他們對數學概念的理解[37]．早在1932年，Brueckner和Elwell就提出，學校數學教學中可以采用讓學生自己提出問題的方式培養學生建立數感，并促進學生對數概念的理解[38]．Hart也曾利用問題提出的方式考察學生對一些重要數學概念的理解，并發現問題提出打開了一扇了解學生思維的窗戶[39]．Silver也認為，問題提出是學生數學理解的一個窗戶，通過問題提出能夠幫助教師了解學生數學理解的程度[40]．Cai等人發現，學生問題解決的能力與其問題提出能力之間存在顯著相關關系，而且對問題提出有積極態度的學生也同時是一個很好的問題解決者[41]．

已有研究者利用學生和教師提出的問題來了解他們的數學理解．例如，Tichá和Ho?pesová也同樣用問題提出方式診斷并評價了職前小學數學教師對分數概念的理解，分析發現，職前小學數學教師對分數概念的理解存在一定的缺陷和混淆[38]．類似地，馬立平比較了中美小學數學教師在分數除法算式所提的問題發現，教師提出有效問題的能力與其對分數除法意義的理解有顯著關系[42]．而且，從認知要求角度來說，問題提出活動能夠促進學生的概念理解，發展他們的推理及數學交流能力，并且有助于培養學生的興趣和好奇心[43]．事實上，教師對數學的概念性理解及其對教學的理解對其問題提出有重要的影響作用．例如，一項針對小學職前數學教師基于日常生活情境提出問題的研究顯示，教師的一些概念性理解及教學上的困難會阻礙其問題提出[44]．

雖然，關于在職教師的問題提出能力及問題提出對教師的信念和教學實踐的影響都已有相應的研究[33]，但問題提出對診斷和評價教師對數學的概念性理解仍然非常缺乏．因此，問題提出可以作為一種了解教師數學理解的手段，同時也是幫助教師診斷和評價學生的概念性理解的一種手段．

此外，利用可視化圖像或符號等表征數學理解或問題解決的過程，有利于學習者更直觀的理解數學．有研究指出，圖示表征對于學習者理解、概括和綜合復雜想法都有重要作用[45]．學習者運用圖示表征的水平就能夠反映出其對數學的理解情況．因此，該研究還將采用畫圖的方式了解教師對分數除法意義的理解情況，以便于與問題提出中表現出的數學理解情況做交叉驗證，從而說明問題提出對診斷和評估教師數學理解的作用．

2 研究方法

2.1 研究對象

研究者調查了某市共66位小學及初中數學教師，其中小學教師52名，初中教師14名．由于小學和初中教師在測試結果上類似，所以沒有分開報告結果．調查同時還收集了教師的教齡和職稱，具體樣本信息如表1．

表1 研究對象背景信息

2.2 研究工具

研究者要求每位參與調查的教師都完成一份關于分數除法的測試卷，試卷共有3個問題．

問題1：請寫出算式的答案．

問題2：用圖表示你在解決下面算式時的解答過程．

問題3：提出兩個不同的能用下面數學式解答的數學問題（注意：只需要提出數學問題，不用解答）．

2.3 數據編碼與分析

同樣地，針對教師所提數學問題，也將其分為3類（如表2）：（1）第一類為所提問題完全錯誤或未提出問題，如

圖1 教師在畫圖題上的程序性理解舉例

圖2 教師在畫圖題上的概念性理解舉例

表2 教師所提數學問題的分類與描述和解釋

最后，確定編碼方式后，所有66份測試卷由兩位數學教育研究者分別進行編碼，在畫圖題和問題提出兩道題目上的編碼一致性程度都達到96%以上．

3 研究結果

3.1 教師在計算題與畫圖題上的表現

教師在計算題上的正確率為100%，說明教師對分數除法運算的程序性理解非常好．然而，通過畫圖表現出對分數除法的程序性和概念性理解并沒有計算題好，其中程序性理解的人數占總人數的54%，概念性理解的教師只占29%．并且，有17%的教師無法用畫圖的方式表達自己對分數除法意義或運算過程的理解（如表3）．也就是超過一半的教師對分數除法僅停留在程序性理解上，僅有不到三分之一的教師具有概念性的理解．

表3 教師在問題提出上的表現

3.2 教師在問題提出題目上的表現

表4為教師在問題提出上的表現．總體來看，完全沒有提出問題或提出的是錯誤問題的數量占總問題數量的17%，而提出的概念性理解問題要顯著多于程序性理解的問題數量．相較于畫圖所體現出的教師對分數除法意義理解的程度，通過問題提出的方式更能體現教師的概念性理解．通過比較可以發現，畫圖表現的對分數除法的概念性理解人數占總人數的29%，而所提問題表現出教師的概念性理解的問題比例占到71%．

表4 教師在問題提出上的表現

另外，以教師人數為單位，統計發現教師所提兩個問題中全部是概念性理解的有35人，有一個是概念性理解的有23人，以及兩個問題都不是概念性理解的有8人．而對比來看，兩個問題都是概念性理解的34人中僅有11人在畫圖上的表現是概念性理解的，在僅有一個問題是概念性理解的21人中也只有7人在畫圖上的表現是概念性理解的，而在兩個問題都不是概念性理解的9人中僅有1人在畫圖上的表現是概念性理解的．也就是說，問題提出能提供更多可能性或機會讓教師表現出對數學的概念性理解，也能更準確評價學習者對數學概念的理解情況．

3.3 畫圖與問題提出之間的關系

基于以上發現，將教師在畫圖和問題提出題目上的表現綜合起來形成表5．每一格中前面的數字表示在所對應畫圖上某一表現的教師所提出的對數學知識不同理解的問題數量，后面括號中的百分比表示這一問題數量占其所在列的總問題數量的比例．例如，表格中第一行第一列的7表示完全無法用圖示表示或錯誤表示分數除法意義的11人中提出了完全錯誤或沒有提出問題的數量為7．

卡方分析發現，教師通過畫圖表現出的對分數除法意義的理解情況與其問題提出中表現的理解情況存在顯著相關關系（2=24.46，=4，<0.001），即問題提出能夠像常規方式一樣評價教師的數學理解情況，如畫圖或解決問題．不僅如此，在畫圖題目上完全錯誤的有11人，而在問題提出上完全錯誤的僅有6人．而且，在畫圖題上表現為程序性理解的36人中有19人提出的兩個問題都是概念性理解的．因此，問題提出的評價功能要比一般的評價手段更豐富、更能挖掘教師對數學概念的真實理解情況，也能幫助評價者更準確和全面的了解被評價者．當然，如果讓教師用兩種不同的方式畫圖，是否會產生與問題提出一樣的結果，還需要在未來的研究中進一步驗證．

表5 教師在畫圖與問題提出上的數學理解交叉表

注：表示畫圖人數；表示教師所提問題數量；括號里的百分數為其所在位置數字除以所在列的總數，如第一行第一列中的32%為7除以22所得．

例如，有教師無法用畫圖表示自己的解答過程（如圖3所示）．

圖3 教師無法用畫圖表示解答過程舉例

但提出了如下數學問題：

該教師無法通過畫圖表示自己對分數除法意義的理解，這也是常規評價手段所存在的弊端，而通過問題提出，研究者可以了解到該教師能夠從算理的角度理解分數除法的含義．

3.4 不同背景教師的問題提出與其數學理解之間的關系

通過對教齡和職稱的相關性分析發現，教師的教齡和職稱呈顯著性相關關系（=0.413，<0.01），即教師的教齡越大，職稱也就越高，這與我國的教師評聘制度存在明顯的關系，也符合常規認識．由于教齡與職稱有顯著的相關關系，所以下面只討論不同職稱下教師的數學理解情況．

針對于畫圖題，從教師職稱與其在分數除法問題理解上的關系可以發現（如表6），職稱越高的教師對分數除法概念的理解越好，但是仍然有一半以上的教師對分數除法的概念是程序性理解．而且相較于具有高級和一級職稱的教師，職稱在二級及以下的教師對分數除法的理解更傾向于程序性理解（69%）．另外，職稱為一級的教師畫圖錯誤的比例（21%）也比具有其他職稱的要高．

表6 不同職稱的教師在畫圖和問題提出上的表現

注：畫圖所在列的括號里的百分數為其所在位置數字除以所在行的總人數，如第一行第一列中的13%為1除以8所得；問題提出所在列的括號里的百分數為其所在位置數字除以所在行的問題總數，如第一行第二列中的13%為2除以16所得．

相較于教師在畫圖上的表現，不同職稱教師在問題提出上所表現出的對分數除法意義的理解要更好，每一職稱的教師提出的概念性理解問題都比提出錯誤問題或沒有提出問題以及提出程序性理解問題更多．此外，職稱越高的教師提出的錯誤問題或沒提出問題的比例也越低．而且從縱向的問題數量比例來看，具有一級職稱的教師對分數除法意義的理解與具有高級職稱的教師差別非常小，也就是說一級及其以上職稱教師對分數除法意義的理解水平相近．

4 研究結果與討論

4.1 分數除法能夠用于了解教師的數學理解

通過分析教師對分數除法意義的理解情況，能夠了解他們對除法運算本身概念性內涵的理解程度．在分數除法的運算方面，教師沒有任何問題．而在第二題的圖示問題上，卻有11人完全錯誤，他們雖然都能正確計算分數除法，但卻無法表示自己對分數除法意義的理解．綜合來看教師在前兩個問題上所表現出的對分數除法運算的程序性理解非常好，這一結論在“問題提出”題目上也有所體現．然而，從畫圖和問題提出題目上來看，教師的概念性理解并不好，這與已有研究結論也保持一致[23，33]．

另外，因為在問題提出上的數學理解與其在畫圖問題上所表現的數學理解之間存在顯著相關性，可以看出教師在畫圖和問題提出兩種方式下，對分數除法意義的理解程度是一致的．而且所表現出的理解差異和在每一程度上的人數服從正態分布，都可以說明分數除法能夠被用于了解教師的數學理解．因此，分數除法問題作為了解教師或學生數學理解程度的一種知識內容具有很好的代表性．這一結果為已有相關研究提供了很好的實證支持[21，46]．

4.2 教師對分數除法的概念性理解較為欠缺

整體來看，教師對分數除法運算掌握得非常好，但對其概念性的理解較為欠缺，有很大比例的教師只停留在程序性理解上，主要集中在被除數與除數的倍數關系，或除法運算轉換為乘法運算后再進行畫圖解釋或問題提出．這樣的程序性理解雖然正確，但可以看出教師對分數除法運算的概念性理解較為欠缺（以教師為單位來看，僅有29%的教師在畫圖問題上表現出完全理解分數除法意義，而且也僅有35人，占總數一半稍多的教師所提問題屬于概念性理解）．教師對數學知識的理解程度直接影響其教學效果，因此教師的數學理解如果只停留在程序性層面，從而導致學生對數學的理解也只停留在程序性層面上的可能性將會很大．此外，與已有研究結果相似的是，教齡越長或職稱越高（通常認為是專家型）的教師對分數除法意義的理解程度也更好[12]．

盡管Canobi和Bethune認為，個體對數學知識的概念性理解越好，其程序性理解就越好，同樣地，程序性理解越好，其概念性理解也會越好[17]．但從教師在3個題目上的表現來看，教師對分數除法的程序性理解程度并不一定能夠說明他們的概念性理解程度，因為教師在第一題上的正確率為100%，這與在畫圖題和問題提出題目上的表現并不相同．所以，還需要更多實證研究來進一步揭示程序性理解和概念性理解之間的關系．這一結果與學生在這方面的理解狀況一致[47]．

由于研究者在第二個問題上僅讓教師用圖來表示自己的計算過程，并未提示可以用多種圖示方法，因此即便教師的圖示屬于程序性的理解，也不能完全肯定在圖示問題上就沒有概念性的理解．例如，當教師被要求用兩種不同作圖方法表示分數除法的計算過程時，教師們的概念性理解人數是否會增加．因此，接下來的研究還將在原來測試卷的基礎上對問題表述進行完善和改進．

4.3 問題提出可以作為診斷和評估教師數學理解的手段

卡方分析表明，教師通過問題提出所表現出的數學理解與畫圖問題上的表現有顯著相關．也就是說，通過問題提出能夠幫助研究者了解教師對數學概念的理解程度或類型，同樣地，也可以幫助教師了解學生的數學理解．這不僅說明問題提出與數學理解相關，還間接表明了問題提出能力與問題解決能力具有顯著的相關性[6]．

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Using Problem Posing to Diagnose and Assess Teachers’ Conceptual Understanding

YAO Yi-ling1, XU Ran-ran2, CAI Jin-fa2, 3

(1. College of Education, Hangzhou Normal University, Zhejiang Hangzhou 311121, China;2. School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China;3. Department of Mathematical Science, University of Delaware, Newark DE 19716, USA)

Conceptual and procedural understanding of mathematics was an important research topic in the field of mathematics education. However, research about the relationships between the two types of understanding lacks a clear conclusion and operational approach for diagnosing and assessing learners’ mathematics understanding. This study employs a fraction division question, which was significant to students’ learning, to investigate teachers’ understanding in three ways: calculating the division of a fraction, using a graph to represent the fraction division solution process, and posing mathematical problems based on the expression of the fraction division. This study highlights the usefulness of fraction division for understanding and assessing teachers’ mathematical understanding, teachers’ lack of conceptual understanding of fraction division, and the effectiveness of problem posing as a way to diagnose and assess teachers’ mathematical understanding.

problem posing; conceptual understanding; mathematics teacher; assessment

2019–05–03

西南大學引進人才（教育部“長江學者”講座教授）計劃項目——數學問題提出對教師專業發展和學生創新能力提升的長期跟蹤研究（SWU118118）；杭州師范大學教育學院中青年教師項目——數學核心素養與非認知能力關系的評價及發展研究（18JYXK044）

姚一玲（1987—），女，寧夏固原人，講師，博士，主要從事數學課程與教學論研究．蔡金法為本文通訊作者．

G635

A

1004–9894（2019）04–0030–07

姚一玲，徐冉冉，蔡金法．用“問題提出”診斷和評估數學教師的概念性理解[J]．數學教育學報，2019，28（4）：30-36．

[責任編校：陳漢君、周學智]