高中數(shù)學(xué)“設(shè)而不求”策略應(yīng)用研究

☉江蘇省江陰市第一中學(xué) 王 江

一、問題背景

在高中數(shù)學(xué)中，有一類常見的試題類型，在解題過程中需要設(shè)一些題目中并沒有給定的變量，但是在解決過程中不需要算出這些變量的具體值，而是通過變形或者簡化處理將其消除，這就是本文所說的“設(shè)而不求”策略，其實(shí)質(zhì)就是從問題整體出發(fā)，根據(jù)其結(jié)構(gòu)來進(jìn)行變式處理，借助科學(xué)轉(zhuǎn)化與運(yùn)算手段最大幅度地降低計(jì)算量，經(jīng)常以參數(shù)為過渡，以概念、定義、向量原理、基本不等式以及幾何性質(zhì)等為基礎(chǔ).“設(shè)而不求”策略應(yīng)用廣泛，在代數(shù)、幾何等內(nèi)容中均有所涉及，比如方程問題、函數(shù)問題、導(dǎo)數(shù)問題、不等式問題、解析幾何問題、向量問題等.

二、案例解析

（一）方程的根問題

案例1已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b，其中a、b∈R，函數(shù)f（x）值域?yàn)椋?，+∞）.假設(shè)關(guān)于x的不等式x2+ax+b＜c的解集為（m，m+6），試求解實(shí)數(shù)c的值.

解析：由題干信息可知，函數(shù)f（x）=x2+ax+b的值域?yàn)椋?，+∞），故判別式Δ=a2-4b=0.不等式x2+ax+b＜c的解集為（m，m+6），也就是方程x2+ax+b=c的兩根分別為x1=m與x2=m+6.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知=6，已知x1+x2=-a，x1·x2=b-c，代入上述表達(dá)式有=6，將a2-4b=0整體代入，計(jì)算可得c的值為9.

總結(jié)：在本題的解決過程中，關(guān)鍵的一點(diǎn)就是注意到m與m+6是方程x2+ax+b=c的兩根，在后續(xù)解答過程中，一般的處理方法是運(yùn)用求根公式將其求出，但是在本題中無法對(duì)其進(jìn)行求解.由于兩根具有“差值為6”這一顯著特征，因此將已知條件往兩根之差去轉(zhuǎn)化，再通過整體代入的方式來實(shí)現(xiàn)“設(shè)而不求”的目的，這也是處理方程的根的問題的重要思路方法.

（二）不等式問題

案例2已知拋物線M：y2=4x，焦點(diǎn)為F，過F點(diǎn)作兩條垂直直線l1與l2，使得直線l1與拋物線M交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與拋物線M交于C、D兩點(diǎn)，試求解|AB|+|CD|的最小值.

分析：根據(jù)已知條件，設(shè)出直線l1的方程，將其與拋物線方程進(jìn)行聯(lián)立，根據(jù)弦長公式確定|AB|的表達(dá)式，再根據(jù)兩直線垂直這一條件得到|CD|的表達(dá)式，最后利用基本不等式來求解最值問題.

解析：由已知信息可知，直線l1與l2的斜率均存在且不為0.設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x2，y2），直線l1的方程為：x=ty+1，聯(lián)立方程組可得y2-4ty-4=0，Δ=16t2+16＞0，滿足y1+y2=4t，y1y2=-4.根據(jù)弦長公式可得同理可得由基本不等式可知因此|AB|+|CD|≥16，當(dāng)且僅當(dāng)，即t=1或-1時(shí)等號(hào)成立.

總結(jié)：在解析幾何最值問題中，我們往往結(jié)合基本不等式進(jìn)行處理.建立含參數(shù)的關(guān)系式，但不求解具體的參數(shù)值，而是整理得到基本不等式的形式，借助設(shè)而不求的思想方法進(jìn)行解決，這是解決解析幾何最值問題的常用方法.

（三）解析幾何問題

案例3如圖1所示，已知拋物線的方程為x2=2py（p＞0），M點(diǎn)為直線l：y=-2p上的任意一點(diǎn).經(jīng)過M點(diǎn)作拋物線的兩條切線，分別與拋物線相切于A點(diǎn)與B點(diǎn)，假設(shè)A點(diǎn)在左，B點(diǎn)在右.當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2）時(shí)，試求拋物線的方程以及直線AB的方程.

圖1

解析：因?yàn)镸點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2），所以p=1.

所以拋物線的方程為x2=2y.

設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x2，y2），

所以切線MA的方程為：x1x=y1+y，切線MB的方程為：x2x=y2+y.

將M點(diǎn)的坐標(biāo)（2，-2）代入，可得：2x1=y1-2，2x2=y2-2.

所以直線AB的方程為2x=y-2.

總結(jié)：在解決拋物線外一點(diǎn)的切線問題時(shí)，可以先設(shè)出切線方程，但是不需要進(jìn)行求解，可解出切點(diǎn)弦以及弦的距離，通過整體代換的方式，利用設(shè)而不求的思想，從而得到相應(yīng)的方程式.

三、結(jié)語

“設(shè)而不求”的技巧方法在解決高中數(shù)學(xué)問題時(shí)具有廣泛的應(yīng)用，可以很好地拓寬學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生的動(dòng)態(tài)發(fā)展.在教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成全面思考、宏觀與微觀相結(jié)合的思維方式，提高學(xué)生的思維與解題能力，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)教學(xué)的效果，促進(jìn)學(xué)生的綜合發(fā)展.對(duì)于“設(shè)而不求”這一類問題，教師要形成兩個(gè)基本的認(rèn)識(shí)：其一是定位明確，全面理解并充分認(rèn)識(shí)這一類問題的靈活性與多變性，強(qiáng)化學(xué)生的辯證思維，杜絕機(jī)械、呆板的思維方式；其二是突出方法重點(diǎn)，解決學(xué)習(xí)難點(diǎn)，抓住“設(shè)而不求”的技巧方法的重點(diǎn)，即“設(shè)什么”以及“如何設(shè)”，在此基礎(chǔ)上強(qiáng)化學(xué)生提取信息以及實(shí)現(xiàn)代數(shù)變形的能力，這需要學(xué)生具備一定的整體思維能力，這也是這一方法的必要素養(yǎng).