從“云山霧罩”到“豁然開朗”
——絕對值函數雙重最值問題探究

☉鄭州外國語新楓楊學校 何培鋌

“疑問”是點燃智慧的火種，誘發思考，激發學生用自己的思維去獲取知識，多角度探索思考，對提高解題能力有巨大的推動力.縱觀近幾年的高考試題，有關含絕對值函數的雙重最值問題層出不窮，它與函數、不等式、分段函數等交匯出現，其特點是立意新穎、綜合性強、難度系數大，對學生的能力要求非常高.在高三復習過程中，含絕對值函數的雙重最值問題高頻出現，筆者通過這一典型題類對其進行探究梳理.

一、參數賦值，嘗試逐步解惑

雙重最值問題通常帶有幾個參數，再加上絕對值，更讓人望而生畏.而數學的本質往往是簡單的，越是簡單越是接近本質.首先是審題問題，如何理解題中所描述的條件呢？

多元變量造成學生思維混亂，解題困難的局面，為了理清題中描述的條件，對其部分參數字母a，b賦值，轉化為一個變量x的函數問題，先把不含參數的函數f（x）理清，再隨著a，b的不同賦值，觀察對函數f（x）的影響，逐步解惑.也體現了將數學問題化整為零、化繁為簡的解題原則.

第一步：我們給定具體的a，b來加以理解：

取a=1，b=0.

再取a=2，b=1.

第二步：加了條件對任意的正實數a和實數b，又是什么意思呢？

不同的a，b，有不同的最大值M（a，b），問題化為對任意的正實數a和實數b，m≤M（a，b）恒成立，所以要求M（a，b）的最小值.所以設f（x）的最大值為M（a，b），問題等價于x∈［1，2］時求M（a，b），再求M（a，b）min.

通過對字母參數a，b賦值發現：（1）對自變量x∈［1，2］而言，求函數f（x）的最大值；（2）從不同的賦值中發現隨著參數a，b的不同，函數f（x）的最大值是變化的，函數f（x）的最大值是關于a，b的函數，記為M（a，b）；（3）對任意的正實數a和實數b恒成立，即求M（a，b）的最小值.

通過賦值，快速地判斷出各參數對函數f（x）的變化趨勢的影響，幫助理清如何針對函數變量和各參數逐步求出函數的雙重最值.本題綜合性非常強，對學生的要求也非常高，那么如何利用已有的知識構建模式，達成目標.

二、系統函數思想，利用數形結合，實現“融匯貫通”

要解決絕對值函數f（x）的最值問題，先明確函數f（x）的取值范圍問題.

先求u（x）的取值范圍.

當x∈［1，2］時，因為a＞0，函數u（x）單調遞減，所以1-2a-b≤u（x）≤2-a-b.

根據u（x）的取值范圍，討論f（x）=｜u（x）｜的最大值，圍繞參數a，b求絕對值函數f（x）的最值問題.下面筆者利用函數思想的各種解題方法對其探究.

1.分類討論，借助線性規劃

根據絕對值的代數意義，關鍵先明確函數f（x）的最大值和最小值，對參數a，b取值范圍進行分類討論，此類解題方法對學生的條理性、縝密性提出了很高的要求.

顯然M（a，b）=max{｜1-2a-b｜，｜2-a-b｜}.

（1）若｜1-2a-b｜≤｜2-a-b｜，即｜1-2a-b｜2≤｜2-a-b｜2，

借助線性規劃知識求M（a，b）min.

圖1

圖2

（2）若｜1-2a-b｜＞｜2-a-b｜，

圖3

含絕對值的函數本身就是分段函數的縮影，利用絕對值的非負性，只要對其端點的絕對值比較大小即可，大大降低了類的種數，從而降低了解題的難度.在求M（a，b）min的過程中，利用了線性規劃.不等式求最值問題對學生而言，始終是一個難點，而線性規劃知識點較為簡單，學生掌握程度高，將不等式問題轉化為線性規劃求最值問題，避免了難而繁瑣的計算，快速地完成解題.在教學過程中，重視學生的知識遷移、靈活運用的能力.

2.利用絕對值的幾何意義，關注臨界狀態

含絕對值的函數蘊藏著“距離”的幾何特征，解題過程中盡可能利用絕對值的幾何意義，利用“1-2a-b，2-ab”隨著變量b的變化趨勢中形的變化，1-2a-b，2-a-b的值的變化.

因為1-2a-b≤u（x）≤2-a-b，所以u（x）max-u（x）min=a+1.

下面通過考慮b變化的幾何意義解決問題，

考慮到b變化，引起函數u（x）圖像上下平移，

但是u（x）max-u（x）min=a+1不變，

結合圖像即圖3，當u（x）max=-u（x）min時，M（a，b）最小，即

本題具有u（x）max-u（x）min=a+1，可以通過b的變化，絕對值的非負性質，對應到圖像中的翻折概念，觀察判斷可得當｜1-2a-b｜=｜2-a-b｜時，M（a，b）取到最小值.與分類討論比較，利用函數的形，更直觀解決函數的最值問題，避免了分類討論.

三、變式探究，實現觸類旁通

經典母題中，給出參數a＞0，使得u（x）在定義域內單調遞減，直接求出u（x）的值域，那若a∈R呢？利用函數思想，對所含參數引起的各種可能逐一分類討論，無疑降低了解題的成功率.本題利用函數思想和絕對值的幾何意義，通過數形結合，優勢十分明顯.

變式：函數，若對任意的實數a和實數b，總存在x0∈［1，2］，使得f（x0）≥m，則實數m的取值范圍.

解：由

圖4

M（a，b）的幾何意義是：x∈［1，2］時，｜AB｜的最大值，如圖4中，當x=1時｜AB｜最大，要求M（a，b）min的幾何意義是：尋找直線的合適位置，使｜AB｜的最大值最小.

如圖5中，l1變為l2時，明顯的，M（a，b）變大.

那么，最適當的直線位置在哪呢？

圖5

圖6

圖7

若|MS|=|NH|≠|KE|，則可以通過平移直線l，使max{|MS|，|KE|}變小.

如圖7，此時，平移直線MN到PQ，使直線PQ與函數g（x）=，x∈［1，2］的圖像相切，切點為E，不妨設P，Q在直線x=1，x=2上，則直線l是平行四邊形MPQN的一條中位線，這就是使|AB|的最大值最小的直線位置.

因為對直線l平移和轉動，都會使|MS|，|KE|，|NH|中的某一值變大.此時，kMN=-1，

對于多參數絕對值函數模型，如果一味地針對“原函數”分層解決，多層次分類討論，學生對此問題的解決是望而生畏的，結果很難達到目的.充分利用絕對值的幾何意義，轉化為兩個函數圖像之間的距離模型，快速準確地把握圖像的關鍵特點，找到解題的突破點，順利地避開計算，提高解題的成功率.

波利亞曾說：“對于一個特例之所以要進行這樣周密的描述，其目的就是為了從中提出一般的方法的模式.”筆者試著從一題出發，對函數思想、不等式思想、解題模型的綜合問題進行梳理，以期達到觸類旁通，融匯貫通的效果.