例說解三角形中與正切函數有關的最值問題

☉廣東省高州中學 吳永福

三角形中與正切函數有關的最值問題曾經出現在2016年的江蘇高考試題中，近年來在許多高考模擬試題中，又出現了這樣的題型，該題型不屬于常見題型，對許多人來說比較陌生，難處理，那么如何解這類題型？筆者對這類題型的解法進行了探究，揭示了其存在的一些解題規律，在此與各位分享，望能對各位的解題有所幫助.

類型一、目標函數為正切函數

①目標函數為tanAtanBtanC，條件可化簡為tanA+tanB=mtanAtanB（或tanA+tanC=mtanAtanC或tanB+tanC=mtanBtanC）

例1 在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是______.

小結：由sinA=2sinBsinC 變形得到tanB+tanC=2tanBtanC，將tanAtanBtanC表示成關于tanBtanC的函數，再求其最小值.

②目標函數為tanAtanBtanC，條件可化簡為tanA=mtanB（或tanA=mtanC或tanB=mtanC）

例2在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a2+2abcosC=3b2，則tanAtanBtanC的最小值為______.

小結：利用公式sin2A-sin2B=sin（A+B）sin（A-B）化簡，得 到tanA=3tanB，將tanC 也 用tanB 表 示，將tanAtanBtanC表示成關于tanB的函數，再求其最小值.

例3在銳角三角形ABC中，已知2sin2A+sin2B=2sin2C，則的最小值為______.

小結：根據系數關系將2sin2A+sin2B=2sin2C變形為sin2B=2（sin2C-sin2A），利用公式sin2C-sin2A=sin（C+A）·sin（C-A）化簡，得到tanC=3tanA，將tanB也用tanA表示，將表示成關于tanA的函數，再求其最小值.

類型二、目標函數可轉化為正切函數

例4銳角△ABC的面積為1，則的最小值為______.

小結：利用三角形的面積為1，將b2用角表示，將用角表示，再利用公式進行化簡，得到，根據，得到·，利用均值不等式求得的最大值，從而得到的最小值.

類型三、條件中含正切函數

例5已知在△ABC中，a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，若tanA=2tanB，則的最大值為______.

小結：將tanA=2tanB 切化弦，變形為sinAcosB=2cosAsinB，再配湊為sin（A+B）=3cosAsinB，即sinC=3cosAsinB，用正、余弦定理轉化為邊的關系，再求的最大值.

例6已知△ABC的面積為，且滿足，則邊AC的最小值為______.

小結：將切化弦，表示成2cosAsinB+sinAcosB=sinAsinB，配 湊 成sin（A+B）+cosAsinB=sinAsinB，即sinC=（sinA-cosA）sinB，用正弦定理轉化成c=（sinA-cosA）b，利用三角形的面積公式，將邊b表示成角A的函數，從而可求出其最小值.