借助平面幾何，突破2019年高考題

☉江蘇省宿遷中學 李志中

平面幾何知識具有“形”的直觀性與特殊性，是初中數學與高中數學的自然過渡與鏈接，與高中數學中平面向量、解三角形、三角函數、平面解析幾何等知識具有相同的本質，也是這些相關知識的基礎與根源.在解決一些相關的高考數學問題時，經?？梢越Y合平面幾何圖形的性質，利用平面幾何的性質及相關知識來處理，往往可以使得問題的解決變得更自然、更直觀、更簡單、更快捷、更有效.下面結合2019年數學高考中的真題，通過借助平面幾何知識來處理相應的問題，達到巧妙解決的目的.

一、平面幾何在平面向量中的應用

平面向量的相關知識中經常含有三角形、平行四邊形、圓等平面幾何模型，其中平面向量的線性運算涉及三角形法則或平行四邊形法則，平面向量的模又涉及圓，還有平面向量中的平行或垂直關系等也涉及平面幾何知識，這為利用平面幾何知識來解決平面向量的相關問題提供了條件.

例1（2019·全國卷Ⅰ理·7；文·8）已知非零向量a，b滿足|a|=2|b|，且（a-b）⊥b，則a與b的夾角為（ ）.

分析：涉及平面向量的問題，可以借助平面向量的數量積、坐標法來處理.而通過構造平面幾何模型——三角形，結合平面向量的線性運算、垂直關系以及邊長之間的關系，利用直角三角形的幾何性質來確定相應的角度即可.

圖1

解析：如圖1所示，在直角三角形OAB中，設

點評：借助三角形的構造，把對應的平面向量的加、減運算，模等問題轉化為三角形的邊、角的關系，借助幾何直觀，并結合平面幾何的性質，可以快捷地轉化相應的邊、角或最值問題，達到有效、直觀、快捷地確定平面向量中的幾何量問題的目的.采用平面幾何的圖形來處理，解答更直觀，更可行.

二、平面幾何在解三角形中的應用

解三角形的相關知識其實就是平面幾何知識的深入與拓展，將復雜的解三角形問題加以合理的切割、補形等操作，通過直觀模型轉化為特殊的三角形模型——直角三角形、等腰三角形或等邊三角形等，或其他特殊的平面幾何模型，進而直接利用平面幾何知識來處理，即可達到有效并合理解決解三角形問題的目的.

例2（2019·全國卷Ⅱ理·15）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b=6，a=2c，則△ABC的面積為______.

分析：根據題目條件，結合平面幾何作圖并加以轉化，過點A作AD⊥BC，垂足為D，進而切割成兩個直角三角形，分別在Rt△ABD、Rt△ADC中，利用直角三角形的性質以及邊的關系來分析與求解.

解析：如圖2所示，過點A作AD⊥BC，垂足為D，

圖2

點評：解決本題的常規思維是借助正弦定理或余弦定理加以轉化，結合解三角形來處理.而通過平面幾何作圖，將一些三角形問題經過切割、補形等形式加以轉化，比較常見的就是切割成兩個直角三角形或是補形成兩個直角三角形，利用直角三角形中的邊角關系加以轉化與應用.平面幾何作圖處理，求解直觀有效.

三、平面幾何在平面解析幾何中的應用

平面解析幾何主要包括點、直線、圓以及圓錐曲線（涉及橢圓、雙曲線與拋物線）等相關知識，其相應知識點中也涉及平面幾何的相關知識以及平面幾何模型，可以借助平面幾何中的邊、角、平行、垂直、三角形、圓的知識，結合平面幾何的方法與思維來處理一些相關的平面解析幾何問題，是平面幾何應用的提升與拓展，也是實際平面解析幾何直觀化的基本途徑.

例3（2019·全國卷Ⅰ理·16）已知雙曲線C=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點.若，則C的離心率為______.

分析：解決本題時往往采用解析幾何思維或三角函數思維等來轉化與應用.而借助平面幾何思維，通過三角形的相關性質來轉化，解答過程顯得更為簡單快捷，處理問題更具特色，效果更明顯.

圖3

解析：由題可知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的漸近線方程為

利用平行線的性質，有∠F1OA=∠F1F2B.

結合雙曲線的漸近線的對稱性∠F1OA=∠BOF2，則可得∠F1F2B=∠BOF2.

結合直角三角形的性質可知|OB|=|OF2|，

利用∠F1F2B=∠BOF2與|OB|=|OF2|，可知△BOF2為等邊三角形，則知∠BOF2=60°.

點評：平面幾何思維來處理圓、圓錐曲線等相關問題時，往往借助平面幾何中的相關知識，包括圓冪定理、三角形的相關性質與判定等角度來達到巧妙轉化與應用的目的，從而得以求解解析幾何中的相關問題.

采用平面幾何的圖形或相關性質來處理相應的高中數學問題，要注意相關知識點之間的合理聯系與有效轉化，真正達到“數”與“形”的有效統一與有機轉化.同時，采用平面幾何思維來處理問題，往往更為直觀易懂，操作起來簡潔明了.在解決一些相關問題時，可以作為輔助方法或思維，達到有效拓展解題思維的目的，將相關比較陌生或不易處理的數學問題轉化為較為熟悉的平面幾何問題來處理，從而達到從未知向已知、從復雜向簡單、從抽象向直觀等的有效轉化與應用，充分體現了數學的核心素養.