對一道模擬題的多解探究

☉江蘇省丹陽高級中學 張棟斌

三角形中的最值問題是解三角形問題中的重點與難點之一，也是新課標大綱充分體現在“知識點交匯處”命題的一大陣地.通過活潑多樣的問題背景設置，題目形象直觀，條件中知識交匯點眾多，題目具有相當的難度，同時解決問題的思維方式多變，破解方法也多種多樣，一直是歷年高考、競賽命題中的基本考點和熱點之一.

【例】（2019屆江蘇省無錫市高三上學期期末檢測·14）在銳角三角形ABC中，已知2sin2A+sin2B=2sin2C，則的最小值為______.

本題以銳角三角形ABC為問題背景，通過已知三角關系式2sin2A+sin2B=2sin2C，進而求解三角形的三內角的正切值倒數之和的最小值問題.題中涉及角的參數較多，且三內角之間又相互關聯，可以通過題目條件的轉化，再借助基本的數學工具（二次函數、三角函數、基本不等式、導數等）來破解相應的最小值問題.

結合題目中的三角關系式，從三角恒等變換的角度或從正弦定理與余弦定理的角度轉化，利用相關的三角形內角和公式、誘導公式、同角三角函數基本關系式以及三角恒等變換公式的應用得到3tanA=tanC，再利用兩角和的正切公式得到tanB關于tanA的表達式，從而把三角式轉化為關于tanA的表達式，最后利用基本不等式即可確定對應的最值問題.

解法1：由2sin2A+sin2B=2sin2C，變形2sin2A-2sin2C=-sin2B，

可得2sin（A+C）sin（A-C）=-sin2B，

即有2sin（A-C）=-sinB，

那么2sinAcosC-2cosAsinC=-sinB=-sin（A+C）=-sinAcosC-cosAsinC，

即3sinAcosC=cosAsinC，亦即3tanA=tanC.

解法2：由2sin2A+sin2B=2sin2C，結合正弦定理可得2a2+b2=2c2，則有b2=2c2-2a2，

以下同解法1.

通過三角恒等變換的角度或從正弦定理與余弦定理的角度得到3tanA=tanC，利用斜三角形中的三角恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，借助參數的引入加以轉化，并利用基本不等式或導數法即可確定相應的最值問題.

解法3：由解法1或解法2可得3tanA=tanC，

設tanA=x，tanB=y，tanC=z，

結合斜三角形中的三角恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，可得x+y+z=xyz，

又z=3x，代入整理要得4x+y=3x2y，即

解法4：由解法3可得，

結合題目中的三角關系式，先利用正弦定理得到b2=2c2-2a2，通過平面幾何作圖，過點B作BD⊥AC于點D，引入參數x，y，h，利用三角函數的定義分別可以確定tanA與tanC的表達式，或借助余弦定理的轉化并結合條件確定參數x，y之間的關系，再利用兩角和的正切公式得到tanB的相關表達式，從而把三角式轉化為關于參數h與y的表達式，再利用基本不等式即可確定對應的最值問題.

解法5：由2sin2A+sin2B=2sin2C，結合正弦定理可得2a2+b2=2c2，則有b2=2c2-2a2，

如圖1，過點B作BD⊥AC于點D，

設AD=x，CD=y，BD=h，

圖1

而（x+y）2=b2=2c2-2a2=2（x2+h2）-2（y2+h2）=2（x2-y2），整理可得x=3y，

解法6：由2sin2A+sin2B=2sin2C，結合正弦定理可得2a2+b2=2c2，則有b2=2c2-2a2，

如圖1，過點B作BD⊥AC于點D，

設AD=x，CD=y，BD=h，

以下同解法5.

結合題目中的三角關系式，先利用正弦定理得到2a2+b2=2c2，再通過余弦定理的轉化得到，利用對三角式的三角恒等轉化得到其值為，把問題轉化為求解三角函數關系式的最值問題，然后可以借助導數法等來破解.

規律總結

破解三角形中的最值問題，可以通過三角函數的角度或平面幾何的角度來切入，無論借助哪種思路來進行破解，往往都綜合基本不等式求最值、三角函數求最值、數形結合求最值等方法與技巧來處理，充分體現了知識與方法的多樣性與全面化.

其實，對于解三角形問題與三角函數的有機巧妙融合問題，往往可以綜合提升不同的知識點間的整合與能力的拓展.同時，此類問題大都運算量較大、公式應用較多，要求我們不僅具有較高的運算水平、較強的運算能力和較好的記憶能力，還應該善于審題，采用相應的破解策略，全面優化過程，提升解題效益，培養數學素養.