關(guān)注幾何體積，探究求解策略

☉江蘇省贛榆高級中學(xué) 郭新祝

求解空間幾何體的體積是高中數(shù)學(xué)較為常見的題型，受限于幾何體的結(jié)構(gòu)和所給條件，在求幾何體的體積時需要選用合理的方法策略，下面簡要講解其中的三種方法以及使用思路.

一、直接求解——體積公式法

直接求解，即利用幾何體對應(yīng)的體積公式，將相應(yīng)的幾何量代入公式來求解.適用于公式法的幾何體一般較為常見，且形狀規(guī)則，因此不需要對其進(jìn)行轉(zhuǎn)化與變形，只需要結(jié)合體積公式探尋條件即可.利用公式法可以求解柱體、錐體、球體等幾何體的體積.

例1如圖1所示，已知三棱錐P-ABC的棱長PA=1，AB=AC=2，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，試求該三棱錐的體積.

圖1

分析：題干給出了三棱錐的棱長PA、AB和AC的長以及相關(guān)的角度，求該幾何體的體積則可以考慮直接使用體積公式，將其視為以△ABC為底，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三棱錐，則需要作出底面上的高，并求出底面積和高的值即可.

解：作底面△ABC上的高PO，即PO⊥底面ABC，然后連接AO，如圖1所示，分析可知AO為PA在底面上的射影，且AO為∠BAC的角平分線，過O點(diǎn)作OE⊥AB于點(diǎn)E，連接PE，則PE⊥AB.故.而底面△ABC的面積為，所以三棱錐的體積，即三棱錐P-ABC的體積為.

評注：幾何體的公式法是需要學(xué)生掌握的基本方法，也是幾何體體積求解中最為基礎(chǔ)的思路.利用該方法求解時需要熟悉幾何體對應(yīng)的體積公式，以及公式中具體字母所對應(yīng)的含義.例如上述三棱錐的體積公式為，其中的S為三棱錐的底面積，而h為對應(yīng)底面上的高，兩者之間有著緊密的對應(yīng)關(guān)系，需要配合使用.因此在利用公式法求解時需要對幾何體進(jìn)行合理的定型，結(jié)合條件來確定其底面積.

二、等量轉(zhuǎn)化——體積恒等法

我們知道從不同的角度來分析問題會得出不同的結(jié)論，同樣的，對于同一個幾何體，從不同的角度觀察可以獲得不同的條件.例如可以通過改變幾何體的底面和頂點(diǎn)或轉(zhuǎn)換高，利用等體積原理來求體積，即幾何體的體積恒等轉(zhuǎn)化法.一般體積恒等法有兩種應(yīng)用思路：一是將幾何體視為是不同的底面和高，二是通過恒等變換求解恒等幾何體的體積.

例2如圖2所示，已知四邊形PCBM為直角梯形，M-ACN為三棱錐，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2.若AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角度為60°，N為線段BC的中點(diǎn)，試求三棱錐N-ACM的體積.

圖2

分析：題干表明PCBM為直角梯形，且給出了相應(yīng)的線段長和角度等條件.求解三棱錐N-ACM的體積時，若將其視為是以點(diǎn)N為頂點(diǎn)、ACM為底面的三棱錐，則求解較為困難，可以采用體積恒等法，對三棱錐的頂點(diǎn)和底面進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用三棱錐的體積公式代入求解即可.

解：易知MN=PC，且MN∥PC，進(jìn)一步分析可知MN⊥平面ABC.已知直線AM與直線PC所成的角度為60°，則∠AMN=60°，在△CAN中使用余弦定理可得AN=，在△AMN中可得MN=AN·cot ∠AMN=1，因此四邊形PCNM為正方形.

可將三棱錐N-ACM視為以點(diǎn)M為頂點(diǎn)，△ACN為底面的三棱錐，則MN就為底面到頂點(diǎn)的高，即，即三棱錐M-ACN的體積為.

評注：等體積轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)幾何“等量法”的應(yīng)用體現(xiàn)，也是幾何體體積求解較為有效的方法.其基本思路就是通過轉(zhuǎn)化幾何體的觀察視角，建立不同的求解模型.上述求解三棱錐的體積采用了底面和頂點(diǎn)的等體轉(zhuǎn)化思路，從而將其視為是較為特殊的三棱錐，直接獲得了底面上的高.而在等體轉(zhuǎn)化應(yīng)用時需要注意兩點(diǎn)：一是視角轉(zhuǎn)化必須基于同一幾何體；二是盡量將其轉(zhuǎn)化為較為特殊的幾何體，便于后續(xù)的公式套用，尤其是關(guān)注底面上高的獲得.

三、圖形構(gòu)建——體積割補(bǔ)法

體積割補(bǔ)法是對初中數(shù)學(xué)面積割補(bǔ)法的應(yīng)用延伸，即通過幾何割補(bǔ)的方式將不規(guī)則的幾何體轉(zhuǎn)化為較為規(guī)則或特殊的基本幾何體，通過求簡單規(guī)則幾何體的體積來間接求解的一種思路方法，因此該方法適用于抽象、不規(guī)則幾何體的體積求解.另外割補(bǔ)法的使用有三種思路：一是只割不補(bǔ)，二是只補(bǔ)不割，三是割補(bǔ)混用，解題時需要靈活選用.

圖3

例3如圖3所示，已知六邊形ABCDEF為一不規(guī)則的多面體，其中四邊形ABCD為邊長為3的正方形，若EF∥AB，EF⊥AE，且，線段EF到線段AC的距離為2，試求該幾何體的體積.

分析：上述圖形為不規(guī)則的多面體，不屬于基本的幾何體，故沒有直接適用的體積公式，因此需要采用合適的方法對其進(jìn)行轉(zhuǎn)化

變形，求多面體體積最為常用的方法為體積割補(bǔ)法.題干中指明EF到線段AC的距離為2，分析可得EF平行于平面ABCD，因此可以視為EF到平面ABCD的距離.另外對于該多面體可以從兩個角度使用割補(bǔ)法：一是對幾何體進(jìn)行只割不補(bǔ)，二是對幾何體進(jìn)行只補(bǔ)不割.

解：思路一——只割不補(bǔ)

在幾何體上取線段AB和CD的中點(diǎn)，分別設(shè)為點(diǎn)G和H，然后連接EG，GH和EH，如圖4所示，從而平面EHG將多面體分割為三棱柱BCF-GHE和四棱錐E-ADHG，則該多面體的體積就為上述四棱錐和三棱柱體積之和.其中四棱錐可以視為以點(diǎn)E為頂點(diǎn)，以矩形ADHG為底面的四棱錐，其中底面的面積為正方形ABCD的一半，即，而三棱柱的體積為，所以整個多面體的體積為

圖4

思路二——只補(bǔ)不割

圖5

采用補(bǔ)全的方式來求多面體的體積，將其補(bǔ)全為規(guī)則的幾何體，分別過點(diǎn)B和點(diǎn)C作線段AE和DE的平行線，設(shè)其交點(diǎn)為點(diǎn)G，然后連接FG，BG，CG，如圖5所示，則幾何體轉(zhuǎn)變?yōu)檩^為規(guī)則的幾何體，而添加的幾何體為三棱錐F-BCG，最終原幾何體的體積為補(bǔ)全幾何體的體積減去三棱錐的體積，即V原多面體=V補(bǔ)全幾何體-VF-BCG.根據(jù)已知條件可確定點(diǎn)F到平面ABCD的距離為2，而正方形ABCD的面積為9，則V補(bǔ)全幾何體=9，利用公式可確定三棱錐F-BCG的體積為，所以，即多面體的體積為

評注：實(shí)際上體積割補(bǔ)法是體積加減的一種恒等轉(zhuǎn)化方式，也是幾何由抽象向規(guī)則轉(zhuǎn)化的思維方法.上述是對同一多面體采用不同割補(bǔ)思路的求解分析，其轉(zhuǎn)化核心是相一致的：將幾何體轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)則幾何體的組合.而在實(shí)際解題時需要注意：幾何體割補(bǔ)時應(yīng)聯(lián)系題干條件，將幾何體轉(zhuǎn)化為與已知條件聯(lián)系緊密的幾何體，以便于體積求解.

綜上可知，利用幾何體的體積求解策略均是為了降低思維難度，將問題簡單化.無論是利用體積公式，還是對體積進(jìn)行等量、割補(bǔ)轉(zhuǎn)化，均需要充分挖掘幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，厘清體積與已知條件的關(guān)系，建立合理的幾何模型.另外，在學(xué)習(xí)體積求解的方法策略時需要深入滲透數(shù)學(xué)思想，以提升解題思維為重點(diǎn).