巧用多維視角，妙解三角形試題
——2019年全國卷Ⅰ理科第17題賞析

☉福建省福州第十一中學 蘇春鋒

解三角形主要通過對任意三角形邊角關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等，并借助三角函數中的相關公式加以綜合與運算，包括解決一些簡單三角形的度量問題及一些與測量和計算有關的實際問題等.該部分是每年高考中的基本考點之一，往往涉及解三角形與三角函數知識，大都運算量大、公式應用多，這就要求我們不僅要具有較高的運算水平、較強的運算能力和較好的記憶能力，還要善于審題與分析，采用有效的策略，優化過程，提升效益.

一、真題在線

【高考真題】（2019·全國卷Ⅰ理·17）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.設（sinB-sinC）2=sin2AsinBsinC.

（1）求A；

本題是解三角形問題中常見的形式，條件中借助涉及角的關系式的給出，進而求解具體的內角A，并借助另一個涉及邊的關系式的給出，達到求解sinC的值的目的.破解問題的關鍵是正確利用正弦定理與余弦定理，通過三角形的邊與角之間的合理轉化，并借助相應的三角函數公式（主要是三角恒等變換公式、誘導公式以及同角三角函數基本關系等），加以應用，進而得以合理轉化與巧妙破解.

二、真題解析

解析：（1）由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，由正弦定理，得b2+c2-a2=bc，

因為0°＜A＜180°，所以A=60°.

（2）思維角度1：整體思維

借助條件的轉化，利用整體思維來轉化sinC=sin（C+α-α）或sinC=sin（C-α+α），其中把相應的角C+α或C-α作為一個整體來進行合理的處理，而另一個角α為特殊角，進而通過三角恒等變換公式來轉化與應用.

方法1：（官方標答——整體思維1）

由（1）知B=120°-C，

方法2：（官方改進——整體思維2）

點評：利用整體思維法來處理三角函數求值問題是破解三角函數中比較常見的思維方式.通過把C+60°或C-30°作為一個整體，利用兩角和或差的正弦公式加以巧妙轉化，結合三角恒等變換公式來處理，從而得以求解.

思維角度2：求角思維

借助條件的轉化，利用題目條件直接求解具體角C的值，解決問題時一般要注意角的取值范圍的限制，并能加以合理討論與應用.而此時往往此類具體角為非特殊角，必須借助和或差的三角函數公式來處理與轉化，進而得以求解與應用.

方法3：（具體求角思維1）

由（1）知B=120°-C，

方法4：（具體求角思維2）

點評：直接確定對應角的大小來處理三角函數求值問題是破解三角函數問題中比較直接的一種思維方式.結合條件來具體確定角C的大小，從而得以進行合理的三角函數求值.在直接求角時，往往要注意角的取值范圍的限制對具體角的大小的分析.

思維角度3：平方思維借助條件的轉化，通過含有角C的正弦值與余弦值的一次關系式的兩邊平方處理，利用平方關系sin2C+cos2C=1的應用與轉化，合理轉化為含有sinC的二次方程來解決.而涉及二次方程的根的問題，要結合題目條件加以合理討論與分析.

方法5：（平方思維）

點評：平方思維是借助同角三角函數基本關系式中的平方關系sin2A+cos2A=1來解決一些三角函數問題的一種思維方式.根據條件得到角C的正弦值與余弦值的一次關系式，結合平方關系的應用對相應的一次關系式加以兩邊平方處理，進而轉化為對應的二次方程來解決.

三、解后反思

在利用三角函數破解相應的解三角形問題時，經常會出現多解現象，此時要借助三角形的性質加以合理處理，剔除多余的解.解三角問題中對應的內角的取值范圍至關重要，在一些問題中，角的取值范圍隱含在題目的條件中，若不仔細審題，深入挖掘，往往疏漏而導致解題錯誤，一定要引起重視.

利用多個不同思維角度來破解此類解三角形問題，巧妙地把該題的底蘊充分挖掘出來，多思維轉化，多角度切入，多方面求解，真正體現了對解三角形知識與三角函數知識的融會貫通，充分展現多個知識點間的交匯與綜合，達到提升能力、拓展應用的目的.正如我國著名數學家蘇步青先生說過：“學習數學要多做習題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”