例談幾何習題的拓展

☉福建省南平市高級中學 陳 軍

凝結著教育專家智慧結晶的例題或習題尤其具有典型性與代表性，教師在具體的教學中應善于通過習題、例題的拓展研究以促進學生對數學知識、方法的理解、掌握和應用.本文結合一道具有代表性的習題，通過問題條件、背景、結論的改變對習題的拓展延伸進行了思考.

作為知識主要來源的教材也是教師授課的依據，對于高考命題來說也是極為重要的載體，很多高考試題都是從教材中的例題或習題變式得來的，因此，教師在例題、習題的基礎上進行拓展延伸教學也就變得極為重要了.

例1如圖1，60°的二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在該二面角的兩個半平面內，且均垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，求CD的長.

圖1

解決幾何問題不外乎幾何法與向量法這兩種最主要的途徑.構造三角形并將二面角的平面角置于三角形中求解的方法即為幾何法.運用向量法解題時一般有借助向量的幾何運算解題和運用向量的坐標運算解題這兩種方式，因此例題中的問題可有兩種解法.

解法1（幾何法）：如圖2，在平面β內作AE⊥AB且AE=BD，連結CE、ED.因為AE⊥AB、BD⊥AB、AE=BD，因此四邊形ABDE是矩形.因此ED∥AB，ED=AB=4.

因為AB⊥CA，AB⊥AE，因此AB垂直于△CEA所在的平面，即ED垂直于△CEA所在的平面.因此ED⊥EC.因此△CED是直角三角形，∠CED=90°.

在△CEA中，利用余弦定理可得CE2=CA2+AE2-2CA·AEcos60°，解得CE2=52，在△CED中，CD2=CE2+ED2，解得CD=

圖2

解法2（向量法）：如圖1，因為AC⊥AB，BD⊥AB，且二面角是60°，因此〈

以此題作為背景進行拓展研究.

一、逆向探究

例2已知A、B兩點在二面角的棱上，直線AC、BD分別在該二面角的兩個半平面內，且均垂直于AB.若AB=4，AC=6，BD=8，則該二面角的大小是______.

解析：如圖2，由題意作輔助點E，使AE∥BD，DE∥AB，則DE⊥CE.

另外可知AE=BD=8，設二面角的大小是θ，則在△AEC中，利用余弦定理可得，所以θ=60°，即該二面角的大小是60°.故填答案：60°.

評注：將原題中的條件和結論互換并進行新題的編寫，能使學生對知識的靈活應用能力得到鍛煉.

二、變換背景

例3如圖3所示，墻面為射擊訓練墻，某射擊運動員在點A處進行射擊訓練，點A至墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射線CM移動，計算由點A觀察點P的仰角θ的大小有助于更精準地擊中目標.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值為______.（直線AP和平面ABC所成角記作θ）

圖3

圖4

解析：由勾股定理可得BC=20m.如圖4所示，過點P作PD⊥BC于點D，連結AD，則由點A觀察點P的仰角θ=∠PAD，且.

評注：本題的變化在于定點到動點、角的大小到最值問題的改變，引入變量并構造目標函數即可令函數的最值得解.二次函數配方法、均值不等式法、三角換元法、導數法都能用于函數最值問題的求解上.

三、改變條件

圖5

例4如圖5，已知平面α∩β=l，A、B為l上的兩個點，C、D在平面β內，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，動點P在平面α上，令∠APD=∠BPC，則△PAB的最大面積為（ ）.

解法1：由題意可知，平面α⊥平面β，A、B為平面α和β的交線上的兩個定點，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，因此△PAD、△PBC為直角三角形.又∠APD=∠BPC，所以△PAD∽△PBC.又AD=4，BC=8，所以PB=2PA.作PM⊥AB，垂足為M，則PM⊥β.令AM=t∈R，則在兩個Rt△PAM和Rt△PBM中，PM為公共邊及PB=2PA，因此PA2-t2=4PA2-（6-t）2，解得PA2=12-4t，因此PM=

于是△PAB的高的最大值是4，故（S△PAB）max=12，因此選C.

因為∠APD=∠BPC，因此PB=2PA，以AB的中點O為坐標原點，建立直角坐標系，如圖6所示.設P（x，y），A（-3，0），B（3，0），由PB=2PA，得，化簡得（x+5）2+y2=16（y≠0）.

圖6

因此點P的軌跡為圓心是（-5，0）、半徑是4的圓，因此△PAB的高的最大值即為圓的半徑（不包括x軸上的點），故（S△PAB）max=12，因此選C.

評注：解法1中所運用的幾何法相對繁瑣，解法2中采用的解析法則相對簡潔，數、形之間的雙向依存關系在幾何問題代數化之后得到了很好的體現.

四、改變方法

圖7

解析：作AE⊥BC于E，連結DE，則由AD⊥BC，得BC⊥平面ADE，故DE⊥BC.所以∠AED為二面角α-l-β的平面角，∠AED=θ，∠ADE為AD和面β所成的角，

評注：巧妙運用三角形的面積比和正弦定理的關系來解題的方法令人耳目一新，的獲得令問題變得簡單且令人感嘆.

因此，教師應善于挖掘經典習題并引導學生對問題的本質展開探究，使學生能夠在不變應萬變的解題中獲得能力的提升.