“三會”視域下“回歸分析”教科書比較研究
——以人教A版和北師大版為例

☉西北師范大學教育學院 張定強

☉西北師范大學教育學院 梁會芳

☉西北師范大學教育學院 楊 怡

一、引言

普通高中數學課程標準（2017年版）凝練了數學學科核心素養，其本質是描述學生經過數學教育后應當具有的數學特質，具體可以歸納為“三會”，即會用數學的眼光觀察世界；會用數學的思維思考世界；會用數學的語言表達世界.“三會”是對數學核心素養的高度概括，是聯系數學與現實世界的橋梁，也是數學教育培養的目標.但“三會”目標的落實首先要體現在數學課程內容中.“回歸分析”是統計學中的重要內容之一，是通過建立統計模型研究變量間相關關系的密切程度、結構狀態及進行模型預測的一種有效的工具.在大數據時代，學習它可以使我們對所觀測到的數據加以去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里，對提升數據信息素養有著重要的價值.為此，本文對人教A版和北師大版教科書中“回歸分析”的內容從“三會”的視域下進行研究，以期為深度解讀數學教科書提供參考樣例.

二、研究對象與內容

1.研究對象

回歸分析是對具有不確定關系（即相關關系）的兩個變量進行統計分析的一種方法，是聯系數學知識與實際生活的有效橋梁.考慮到比較對象的代表性與典型性，本文主要選取使用比較廣泛的兩版教科書：人教A版和北師大版，對其選修2-3第三章“統計案例”中的“回歸分析”相關內容進行對比分析.

2.內容框架

運用文本分析和比較研究的方法，對人教A版和北師大版教科書關于“回歸分析”的內容結構進行分析，從整體的知識結構來說，兩版教科書關于“回歸分析”內容的建構都是建立在必修3所學的統計內容的基礎之上，并且均以案例的方式對回歸分析的基本思想進行展開.但從具體的知識結構來說，兩版教科書在必修和選修知識結構的分布以及側重點方面都存在著顯著的差異，具體如表1所示.

表1 “回歸分析”整體知識結構分析

由表1可知，無論是必修模塊還是選修模塊，人教A版都是把相關內容作為一整節來處理，而北師大版在編排的過程中將其細化，分為不同的小節來加以呈現.對此筆者將從“三會”的視域對其建構過程進行深度解析，以明晰其建構特點，充分挖掘并體會統計思維的特點，以開闊思路，探尋培養學生創新精神的基點.

三、研究結果

“三會”是數學在人與世界之間搭建的一座“立交橋”，是數學教育育人功能的全面概括，也是數學教育落實立德樹人根本任務的具體路徑.史寧中教授提出，為了使廣大數學教育工作者能夠有機地將數學核心素養融入到教材編寫、教育研究以及教育教學過程中，需要將“三會”具體化，賦予其內涵，即六大數學核心素養.下面從數學眼光、數學思維、數學語言三個維度對兩版教科書中回歸分析的內容進行分析.

1.數學眼光視角下的比較分析

所謂數學眼光是指從客觀現象或事物中捕捉出其蘊含的數學特征和數學觀點的意識和能力.具體而言就是數學抽象，而與數學抽象最為密切的直觀想象，則是實現數學抽象的思維基礎.

高中數學教科書中，回歸分析作為研究成對隨機變量相關關系的重要思想與方法，對于學生數學抽象素養的形成有著其獨特的功能.對兩版教科書的內容組織進行對比發現（如表2），無論是人教A版還是北師大版，都是以案例、探究或問題提出的形式，利用文字+表格和文字+表格+圖像的表征方式將數據直觀化，通過畫散點圖直觀抽象出兩個變量之間的相關關系，利用給定案例中的數量關系確定回歸方程的參數，從而得到具體的回歸模型，使學生從實際的情境中展開認識活動，從具體的情境中抽象出學習對象，進而有利于學生數學抽象素養的培養.

表2 兩版教科書內容組織對比分析

由表2發現，兩版教科書對于內容的表征大多采用文字+表格或文字+表格+圖像的形式，使學生利用數據的直觀圖表進行數據分析，從而發展其直觀想象素養.直觀圖是培養學生直觀想象素養的主要載體，為了了解兩版教科書在圖像使用方面的差別，對兩版教科書平均圖文比（幅/頁）、平均圖題比（幅/道）進行統計，發現兩版教科書對于習題的圖像設置雖沒有明顯差異，但對于整體圖像的使用頻率相差較大.具體而言，人教A版“回歸分析”內容共11頁，其中課文插圖、習題插圖共6幅，圖題比為0.5，圖文比為0.55；北師大版“回歸分析”內容共14頁，其中課文插圖、習題插圖共16幅，圖題比為0.5，圖文比高達1.14，北師大版教科書圖像的使用頻率明顯高于人教A版，更有助于學生直觀想象素養的培養.

2.數學思維視角下的比較分析

數學思維是指用數學的觀點去思考問題和解決問題的能力，具體而言就是邏輯推理，而數學運算即是邏輯推理的一種特殊形式，同時也是實現數學思維的邏輯基礎.

為了了解兩版教科書是如何基于數學思維建構的，筆者做出對比分析（如表3）.

表3 兩版教科書“思維建構”對比分析

由表3可以發現，從邏輯推理的合理性看，北師大版比人教A版更符合學生的思維建構.如從線性回歸方程的計算公式的推導來看，兩版教科書的設計都是在必修階段利用最小二乘法求回歸方程的基礎之上進行，但人教A版是通過探究的方式，直接給出其推導過程，略顯突兀；而北師大版在邏輯體系建構的過程中，以案例的形式鏈接必修模塊的相關內容，在案例分析與理解的過程中層層遞進，有條理地得出線性回歸方程，與學生的邏輯思維聯系更加緊密，易于學生的理解和內化.從邏輯推理的關聯性看，人教A版比北師大版的關聯更為密切.如從回歸模型擬合效果的探討來看，北師大版是以問題提出的形式，直接引入線性相關系數來判斷線性相關程度的大小，與前文建構的邏輯關聯性不強；而人教A版則是以案例分析的方法得出線性回歸模型的數學表達式，通過對不可觀測量——隨機誤差的探究分析，引入模型擬合效果的分析工具：殘差分析和R2，更符合學生的邏輯思維習慣.從邏輯推理的可操作性看，人教A版比北師大版更易操作.如從回歸模型的建構過程和兩個模型擬合效果優劣的對比來看，人教A版在建構過程中，明確給出了具體的操作步驟，使學生在邏輯推理過程中有據可循，從而更有利于學生掌握規范的解題步驟，并感知數學的嚴謹性.

另外，對比兩版教科書關于學生數學運算素養的要求發現：人教A版和北師大版在回歸分析這一知識體系的建構過程中，對于學生的數學運算素養要求都較高，包括對回歸方程中參數的計算、回歸假設檢驗的計算等.但從非線性回歸模型的可線性化來看，北師大版介紹了幾種常見的非線性函數，并給出了相應的變換步驟，學生只需根據變換步驟進行簡單的計算即可；而人教A版在建構的過程中，學生需要通過對散點圖的觀察，自行調動已有的認知體系中的函數模型，進而確定回歸模型的類型，聯系并結合相關知識對原始數據進行相應的變換（如對預報變量的對數變換或解釋變量的平方變換等），從而實現非線性關系的可線性化，相比之下，人教A版對于學生的運算素養要求則更高一些.同時，兩版教科書在建構的過程中，都暗含著對數學運算工具使用的強調，包括科學計算器、計算機電子表格軟件、MATLAB軟件等，從而有利于減輕學生的運算負擔.

3.數學語言視角下的比較分析

數學語言是在數學思維中產生和發展的，也是數學思維的有效載體，具體而言包括文字語言、符號語言、圖形語言，具有抽象、嚴密、簡潔、通用等特點.回歸數學世界，數學語言指的是數學建模與數據分析，它是溝通數學與現實世界的橋梁，是應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力.

回歸模型是高中數學學習的主要模型之一，是揭示事物間相關變量的數量關系的有效模型.從回歸模型建構的角度看，其建構過程如圖1所示.

兩版教科書在模型建構的過程中都強調通過作散點圖對數據進行分析，注重非線性相關模型的可線性化，以及利用最小二乘法建立回歸模型等，雖然兩版教科書對于模型檢驗的方法有所差異，但對于回歸假設檢驗的思想是兩版教科書選修模塊的重點內容，可以使學生深入體會回歸模型不僅能近似描述產生樣本數據的真實模型，而且尋求近似效果更好的模型是統計方法的顯著特點，也是數學建模的本質所在.另外，兩版教科書對于回歸建模的過程均不完整，對于實際問題回歸模型的建立和分析應主要包括設置指標變量、收集與整理數據、構建理論模型、估計模型參數、回歸模型檢驗、利用模型進行預測等幾個環節，而人教A版和北師大版在建構的過程中都缺乏對設置指標變量以及收集與整理數據的設計.對于指標變量的設置，人教A版在分析回歸模型的過程中，對于解釋變量、預報變量以及隨機誤差之間的關系進行了簡單的描述，有助于學生更好地理解函數關系與相關關系之間的差異.但針對具體問題，在回歸模型建構的過程中，不再提及誰是解釋變量、誰是預報變量，以及影響預報變量的隨機誤差有哪些；而北師大版在建構的過程中，對于變量的設置從未提及，更加強調在具體案例的解決過程中，體會變量的意義.回歸模型是建立在回歸變量樣本統計數據的基礎之上的，收集、整理數據是最基礎的一環，是學生經歷一個完整統計活動的入口，但兩版教科書在編寫的過程中都淡化了對這一環節的設置.

四、研究結論與展望

1.結論

基于“三會”視域對人教A版和北師大版教科書關于回歸分析的相關內容進行對比分析發現：兩版教科書對于回歸分析知識的建構思路與側重點不同，使其在數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學建模、數據分析等方面的表現既有相似之處，也存在一定的差異性.在數學眼光的視角下，兩版教科書都以案例、探究或問題的方式串聯組織內容，抽象出具體模型，發展學生的數學抽象素養.對于圖像的使用頻率，北師大版明顯高于人教A版，更有助于培養學生的直觀想象素養；在數學思維的視角下，從邏輯推理的合理性看，北師大版比人教A版更符合學生的思維建構，但從邏輯推理的關聯性和可操作性看，人教A版的思維建構關聯更密切且更易操作.同時，兩版教科書對于數學運算素養的要求都較高，強調數學工具的使用；在數學語言的視角下，兩版教科書都強調回歸建模思想的滲透以及數據的可視化，但對于回歸模型的建構過程均不完整，缺乏對設置指標變量以及收集與整理數據的設計.

圖1 “回歸模型”建構對比圖

2.展望

教科書作為聯結教師和學生的一種有效的課程資源，其內容的選取、建構的思路對于數學教育的育人價值會產生極其重要的影響.統計學是一門與數據打交道的科學，對于處在大數據背景下的學生來說，數據可以幫助其認識世界，對未來進行合理的預測.以數學的眼光審視數據，以數學的思維思考數據，以數學的語言表達數據，才能有效挖掘數據背后所潛藏的價值，培養學生的數學核心素養，實現數學教育的育人目標.

回歸分析是處理兩個變量之間的關系的一種統計方法與技術，同時也是看待事物的一種統計觀念，蘊含著重要的思想方法.因此在教科書編寫的過程中，以統計案例的形式呈現其知識內容和主體結構，使學生在解決問題的過程中，領悟統計的思想，從而形成統計觀念，充分體現教科書的教育性、科學性、心理性和專業性.但利用回歸分析解決問題是建立在統計模型的基礎之上，只有使學生親身經歷回歸模型建構的全過程，體會其統計模型的作用，感悟其統計思維，才能搭起回歸分析與現實世界的有效橋梁.因此，不僅教科書要體現對“三會”的要求，而且在教育教學的過程中，更應該重視、利用一切諸如教材等資源，實現“三會”所要達成的目標，為學生提供最優的課堂教學.