實施問題有效驅動 提高復習課有效性
——以一道典型問題的教學為例談邏輯推理素養的培養

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安徽省南陵縣教研室 安徽省南陵縣城東實驗學校

復習課作為課堂教學的重要課型之一，對提高學生的學習能力起著不可替代的作用.復習課由于涉及的知識信息量大，對學生數學能力的培養是很好的契機，發揮著不可替代的重要作用.怎樣在課堂教學中提高學生的數學核心素養呢？這是我們面臨的一個現實問題，在省級課題的研究中，我們總結出一種行之有效的方法，即以問題為驅動，以知識的生長點為紐帶，通過對問題進行適度變式，深化了知識，培養了學生的學習方法，對提升學生的數學核心素養起到很好的效果.

邏輯推理能力是初中數學的核心素養之一，《義務教育數學課程標準(2011版)》(以下簡稱課標)指出“對現實空間及圖形有較豐富的認識，具有初步的空間觀念、幾何直觀和邏輯思維能力……邏輯推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中.”所以數學邏輯推理能力的培養是數學教學的重要任務.在復習課上，我們堅持選擇恰當的素材，對相關知識適度整合和實施有效的驅動，在發展基礎知識的同時兼顧發展能力，在注重數學活動的同時培養學生的數學素養.下面是我們實踐研究中的兩節初中幾何“三角形”復習課：

圖1

原題如圖1，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AC、BC邊上的點，且AD=CE，連接BD、AE相交于點F.求∠BFE的度數.

這是八年級學習時的一道典型的練習題，條件簡單，結論一般，大多數學生耳熟能詳.復習課上如果僅僅停留在對原題的討論上，不能激發大部分學生學習興趣，更談不上培養學生的邏輯推理能力，所以我們以此題作為知識的生長點，著眼于其蘊含的豐富內容，通過對這些內容的挖掘，激發學生的求知欲，取得了很好的效果.

1 在原題的基礎上增加條件，實現對全等三角形的復習

原題形式簡單，通過添加相應的條件，使原題的知識內涵更豐富，有利于培養學生的邏輯思維能力.

圖2

例1 如圖2，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、BC上的點，且BD=CE，AE、CD交于點F．

(1)求證：△ACE≌△CBD；

(2)過A作AG⊥CD于G，求證：AF=2FG；

圖3

圖4

解(1)、(2)略；

(3)如圖4，過A作AG⊥DF于G，因為△ACE≌△CBD，所以∠CAE=∠BCD.

因為∠ACB=∠CAB=60°，所以∠ACB-∠BCD=∠CAB-∠CAE.

即∠ACG=∠BAF.

又因為∠AGC=∠AFB,AC=AB,所以△ACG≌△BAF.

所以CG=AF=2FG，因此CF=FG.

全等三角形作為初中數學的核心知識，如何添加輔助線是證明兩個三角形全等的關鍵環節，常見的輔助線添加的方法有截長補短、中線延長和旋轉等，為了實施對全等三角形的復習，在完成例1后，再次添加條件，得到變式：

圖5

變式一：如圖5，在(3)的條件下，點H在BC上且∠BFH=30°，求證：AH⊥BH.

變式一依然是以原題為依托，但改變過去以旋轉為已知，進行三角形全等的證明，據此研究線段的和、差、倍、分關系.變式的本質是旋轉，即把△ACF繞點A逆時針旋轉60°得到△BCM，這樣對學生思維程度的要求更高，能更有效地激發學生思維的深度和廣度，經過一段時間的思考、討論、交流，學生獲得下面的解法：

圖6

如圖6，在AF上取M使CF=FM，連MC，延長FH交MB于N，

因為∠AFC=120°，所以△CFM為等邊三角形.

所以CM=CF，

∠BAC=∠FCM=60°.

所以∠BCA-∠BCD=∠FCM-∠BCD，即∠ACF=∠BCM.

又因為AB=AC，△ACF≌△BCM.所以∠BMC=120°.

又△CFM為等邊三角形，所以∠CMA=∠BMF=60°.

因為∠AFB=90°，所以∠MFB=90°，∠NFB=30°.

因為∠HFB=30°，所以∠MFN=∠FMN=60°.

即△FMN為等邊三角形，且FN=NB，所以NB=FN=FM=CF.

故△CFH≌△BHN，即CH=BH，所以AH⊥BC.

2 把問題的視角轉到相似三角形，實現對相似三角形的復習

相似三角形作為初中數學的重要知識，在證明線段相等、角相等、線段的平行、垂直關系，在計算線段的比值、圖形的周長、面積等方面有著廣泛的應用.這些問題的解決，對培養學生的邏輯思維能力有著重要的作用.

圖7

例2 如圖7，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AC、BC邊上的點，且AD=CE，連接BD、AE相交于點F.

圖8

證法1 (備課預設)如圖8，延長FE至G，使FG=FB,連接GB、GC.

易知∠BFG=60° ,所以△BFG為等邊三角形.

所以BF=BG，

∠FBG=∠FGB=60°.

易證△ABF≌△CBG.所以∠BFA=∠BGC=120°，∠FGC=60°.

證法2 (學生解法)易知△ABD≌△CAE.所以BD=AE,∠DAF=∠ABD.

①

②

例2把全等和相似巧妙地結合起來，提示學生在全等時不忘相似，在相似時不忘全等，一箭雙雕!

為了強化相似在解題中作用，有效地對相似三角形的判定和性質進行復習，同時強化學生三角形相似的意識，在解完例2后，對原題的條件進行逆向思考，提出下面的變式：

圖9

圖10

簡解如圖10，作DK∥BC，交AE于K.易證△ABE≌△BCD.所以BE=CD，CE=AD.

因為BM=DM，∠DMK=∠BME，∠KDM=∠EBM，所以△MBE≌△MDK.

為了對接安徽中考題第14題，繼續對原題條件進行改造，變成一道兩解填空題，提升學生邏輯推理能力的深度與廣度.

圖11

例3 如圖11，等邊△ABC的邊長為6，點D在AC上且DC=2，點E在BC上，連接AE交BD于點F，且∠AFD=60°，若點M是射線BC上一點，當以B、D、M為點的三角形與△ABF相似時，則BM的長為______.

作為壓軸填空題，此類問題一般有一定的難度，但這恰好可以訓練學生思維的嚴謹性和分類討論的意識，為什么要分類以及怎樣分類是學生學習的難點.此題當點M在線段BC上時，大多數學生能夠求出BM的值，當點M在線段BC的延長線上時，問題怎樣轉化是本題的難點所在，教學中也發現學生出現了多種解法，而且解法新穎.

圖12

簡解如圖12，當點M在線段BC上，∠BMD=120°時，△ABF∽△BMD.

此時△CDM為等邊三角形，所以CM=CD=2，故BM=BC-CM=6-2=4.

當點M在線段BC的延長線上，∠BDM=120°時，△ABF∽△BDM.

圖13

解法1 (備課預設)如圖13，設CM=x,因為∠DCB=60°,∠BDM=120°,

所以∠DBM+∠M=∠CDM+∠M=60°.所以∠DBM=∠CDM.

又因為∠DMC=∠BMD,所以△BMD∽△DMC.

所以x(x+6)=x2+2x+4.解得x=1.故BM=x+6=7.

這個預設是執教者精心設計的，一度認為此法具有挑戰性而沾沾自喜，當教師把這個答案用PPT呈現給學生時，數學課代表怯怯地說：“老師，我直接證明△ABF∽△BDM也能求出BM的長”.課后我們和老師的交流中得知，直接求解教師在備課時也思考過，考慮到過程相對比較復雜，就沒有深入下去，學生的這一提出，使他感到很詫異.在課堂上，老師把這位學生的解法投影到實物展臺上，供同學交流：

圖14

教師對數學課代表的解法，向學生談了自己的想法：這種解法其實我在備課時也考慮到了，但估計運算量比較大，所以我就放棄了，現在數學課代表這種最直接(最直接的往往體現的是學生最原本的認知思維)的解法深深打動了我，請大家不吝嗇你的掌聲，給他鼓鼓掌！

話音未落，另一個同學舉手，老師示意他講下去，他說“老師，我的方法很簡單，也求出了BM=7”，該生的發言使同學們覺得很興奮，于是叫他把過程展示如下：

如圖14，在線段BC上作∠BGD=120°,∠BDM=120°,所以∠DBG=∠CDM.故△BDG∽△DMC.

例3是一道三角形綜合題，借助此題復習等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質等知識，體會用分類討論的思想思考問題，體驗添加輔助線構造全等三角形或相似三角形解決問題的過程．課標指出“數學教學活動應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維；要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法.”此題以問題為驅動，充分調動學生學習的主動性和積極性，讓學生深入思考，提高他們的邏輯思維能力，使學生的數學核心素養的培養落到實處.

在例3的基礎上，順勢而為，將點D、E在AC、BC上拓展到在直線AC、BC上，并把圖形相似轉化為角相等，有下面的變式：

變式三在例3的條件下，點D在直線AC上，點E在直線BC上，且∠BAE=∠CBD，當BD=1時，則BE的長為___________.

為了使學生有更多的時間思考和解決此題，沒有在課堂上討論，作為作業讓學生思考，第二天在課堂上點評. 變式三是例3的延伸與拓展，由于點D在直線AC上，點E在直線BC上，所以變式三有四種情況，情況更復雜，對思維的嚴密性要求更高，但能鞏固學生對全等和相似的復習效果，強化分類討論的思想方法.

3 在原題的基礎上求線段(線段和)的最值，實現對幾何最值的復習

最值問題是學生學習幾何的難點，解決此類問題的基本定理有：兩點之間線段最短和垂線段最短等，基本題型有將軍飲馬、定弦定角和運用阿波羅尼斯圓等，為了讓學生掌握數學的思維方法，改變過去的所謂“題型”教學，教師對原題繼續變式探究：

借助幾何畫板的動態演示發現，隨著點D和點E的運動，點P也在運動，但點P始終在以AB為弦圓周角為120°的圓上運動，在運動過程中，CP存在最小值，于是提出下面的問題：

圖15

此題在原題的條件下，將問題轉化到求CP的最小值，由已知可得∠APB=120°,故點P始終在以AB為弦圓周角為120°的圓上運動，當點P經過圓心時CP最小.其模型是定弦定角求最值.

圖16

解易知△ABD≌△BCE，有∠APE=60°，

從而∠APB=120°，所以∠AOB=120°.

當O、P、C三點共線時PC的值最小，最小值為4-2=2.

在求得CP的最小值后，最直接的想法就是△PAB周長的變化規律，通過幾何畫板的反復演示，猜想△PAB的周長有最大值，最大值在哪里取得，是多少，難以發現，于是啟發學生能否運用代數方法去尋求其最大值.在師生的互動下，探究如下：

圖17

在代數探究的前提下，提出：

變式四在例4的條件下，求△PAB的周長的最大值.

解在△ABC外作等邊△ABK，連接PK，取PH=PB．

由已知易得∠APB=120°，因為∠AKB=60°，所以∠AKB+∠APB=180°.

所以A、K、B、P四點共圓.所以∠BPH=∠KAB=60°.

因為PH=PB，所以△PBH是等邊三角形.

所以∠KBA=∠HBP，BH=BP.所以∠KBH=∠ABP.

因為BK=BA，所以△KBH≌△ABP.所以HK=AP.

所以PA+PB=KH+PH=PK，所以PK的值最大時，△APB的周長最大，

所以當PK是△ABK外接圓的直徑時，PK的值最大，最大值為4.

△PAB的周長最大值的取得是建立在代數探究、幾何證明的基礎上的，具有相當大的難度，仍然在學生的“最近發展區”，屬于“跳一跳”的問題，在解決完例4和變式四后我們還需要思考對于正方形是否還有類似的結論，對于其他正多邊形是否也有類似結論，如何探究，請感興趣的同學課后思考.

以上兩個課時的復習課，以問題為驅動，在學生最近發展區對有關數學問題進行變式，激發學生深入思考，促進了學生思考的深度和廣度，使課堂成為安靜的“熱鬧”，培養了學生的邏輯思維能力，提高了學生的數學核心素養，有效地提高了復習課教學的有效性.