利用一道課本習題 簡解并推廣一道高考試題

(郵編：432000)

湖北省孝感高級中學

課本是最重要的教學資源，也是學生學習的出發點，根據地.如何充分挖掘課本習題的豐富內涵，揭示解題思想，滲透核心素養，并利用它解決新問題，是數學教師重要的課題.開展課本典型問題的研究性學習，不但有利于引導學生在高考復習中重視課本的再學習，而且可以讓學生看到課本題與高考題之間內在的聯系，讓學生消除對高考試題的神秘感，幫助學生學會思考，看清問題的本質.本文結合教學實踐，研究課本中的一個習題，并利用它簡解一道2019年北京高考理科試題，以期對如何高效組織高考復習有所啟迪.

1 課本習題解答

《普通高中課程標準實驗教科書數學必修2》第124頁第5題是：已知圓的一條直徑的端點分別是A(x1,y1),B(x2,y2),求證此圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

從以上兩種解法可以看出，直接法單刀直入，需要將圓的標準方程利用因式分解得到最終結論；而利用軌跡思想求圓的方程，曲徑通幽，可有效減少運算量.通過本題的解答可以得到一個實用的結論.

2 結論的應用

(2019北京卷理科18題)已知拋物線C:x2=-2py經過點(2,-1)，(1)求拋物線C的方程及其準線方程;(2)設O為原點，過拋物線C的焦點，作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M、N，直線y=-1分別交直線OM、ON于點A和B，求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點.

解析(1)C的方程為x2=-4y,準線方程為y=1(過程略).

得x2+4kx-4=0,

令x=0,則(y+1)2=4,解得y=1或-3,故以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點(0,1)和(0,-3).

點評本題雖然是一個定點問題，但是利用課本上的結論，縮短了解題的思維流程，簡潔明了，比參考答案要簡潔的多.本題易推廣得到如下結論：

3 高考試題的推廣

證明設直線l的方程為y+m=kx(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).

證明設直線l的方程為x-m=ty,M(x1,y1),N(x2,y2).

4 一點感悟

從以上可以看出，教材是數學能力與思想的載體，教師要引導學生扎根教材，用好課本.課本是命題的源泉，也是解決問題的依據；另外課本是幾代人集體智慧的結晶，它具有相當完備的知識體系和能力架構系統，其中的例題和習題是學生解題能力的核心生長點，開展課本典型例習題的研究性學習有利于減輕學生的負擔，使學生跳出題海，起到事半功倍的效果.隨著數學核心素養的理念不斷強化，新高考改革不斷推進，將來不分文理科的趨勢逐漸形成，相信會有更多的高考題取材于課本，經過加工改造后又高于課本，這能充分體現高考命題依綱靠本，源于教材又高于教材的指導思想.