基于數學運算能力培養的單元教學設計研究
——以初中“因式分解”內容為例

(郵編：730070)

西北師范大學教育學院

1 引言

單元教學因其相對于課時教學的優越性，逐漸受到研究者們的關注與推崇.單元教學是通過圍繞某一單元，讓學生以與單元相關的各類資源為載體，以各種探究活動等為手段，使其發生認知遷移，提高其問題解決等高級思維能力以及養成主動探究精神的教學方式，它也是整合認知目標、情感目標和動作技能目標等三類學習目標的有效教學方式[1].對于數學單元教學設計，呂世虎認為它是“在整體思維的指導下，從提升學生數學核心素養的角度出發，通過教學團隊的合作，對相關教材內容進行統籌重組和優化，并將優化后的教學內容視為一個相對獨立的教學單元，以突出數學內容的主線以及知識間的關聯性，在此基礎上對教學單元整體進行循環改進的動態教學設計”[2].也就是說，單元教學設計作為單元教學的預設，必須以培養學生的數學核心素養為最終目標，需要教師宏觀把握數學知識結構，以學生的認知發展特點與數學學習基礎為依據，重新整合教學內容，并通過教學實踐及相關理論的指導，將其進行反思并改進.對于單元教學設計的功能，鐘啟泉教授認為，單元教學設計是“撬動課堂轉型的一個支點”，對課程開發和教學實踐有舉足輕重的作用[3]，進行單元教學設計，不僅有助于學生數學學習及科學精神的養成，并且對教師的專業發展也有至關重要的作用[4].

運算普遍被認為是在一定的概念、法則、定律的指導下，根據已知量經過相應的操作程序，得到未知量的過程.義務教育階段的數學課標中，將“運算能力”確立為十個核心概念之一，并將運算能力定義為：能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力[5].數學運算能力是數學學習中的一個最基本的素養，學生通過數學運算能力的發展，可以有效促進其自身數學思維的發展，進而養成科學嚴謹、求真務實的重要品質.因式分解是培養學生數學運算素養的一個重要載體，這一主題的內容在學生的數學基礎教育中，既是對之前所學的數與代數領域部分重要內容的回顧與升華，又是學生之后解方程、解不等式及分式化簡等運算學習必不可少的數學運算工具.目前，我國有關數學運算素養的研究正處于起步階段，且大都局限在理論層面，而基于數學運算素養主題教學設計的研究則少之又少，亟需研究者們的關注與探索.鑒于此，本研究將以初中數學中“因式分解”這一單元內容為例，基于系統分析的視角，從培養學生數學運算素養的目標出發，依據數學單元教學設計的操作步驟，進行單元教學設計，以期為初中學生數學核心素養的培養研究提供借鑒.

2 數學運算素養視域下“因式分解”單元教學設計的基本要求

2.1 注意全面精準的解讀課標中有關“因式分解”內容的教學要求

課程標準是進行課程教學、管理與評價的準繩，單元教學設計亦要以課標為導向，在遵循課標要求的基礎上，實現對課標的創造性使用.在進行“因式分解”單元教學設計時，應對單元內容的要求及單元內不同內容要求之間的關聯等進行深入解讀，并根據該單元內容的數學文化、數學本質與數學思想方法及其在數學課程與教學中所處的特殊地位，析出“因式分解”單元教學內容及教學核心.

2.2 應對不同版本教材中的“因式分解”內容做多維度的比較分析

數學教材是數學課程目標與課程理念的具體表現形式，也是進行單元教學設計的重要參考資料，并且不同版本的教材體現出其不同編寫者的知識體系與教育觀.在“因式分解”的單元教學設計過程中，應辯證地使用教材，從整體到部分、抽象到具體，對不同版本教材的內容與欄目設置以及例習題編排方式等進行比較分析，從而深入挖掘出“因式分解”單元的教學目標與教學重難點，在實現對教材有效利用的同時，達到單元教學設計合理性與整體性的要求.

2.3 應對學生學習“因式分解”單元內容所具備的運算素養進行科學分析

布魯納認為學生是“積極的信息加工者”[6]，而學生已有的數學現實是其進行數學經驗再造的起點[7]，學生學習“因式分解”的單元內容，需要在其已有的運算素養基礎上進行知識的重新加工建構.因此，“因式分解”單元教學設計應從認知與數學知識儲備等方面對學生已具備的運算素養進行科學分析，根據學生的數學現實，搭建合理的橋梁，完成已有知識與新知識的對接與遷移，并且在知識理解與掌握的基礎上，發展學生的應用與創新意識，體現數學課程的育人價值[8].

2.4 因式分解單元教學方式的選擇應有利于學生運算素養的培養

教學方式是進行課堂教學的方法，也是實現教學目標的手段.單元教學方式的選擇應以數學、課標、教材、學情等教學要素的分析為依據，更要以凸顯“因式分解”單元教學內容價值核心的數學運算素養為總目標，教師要以學生為主體，從自身作為組織者、引導者及參與者的身份選擇多樣化的教學方式.

2.5 應系統且循序漸進地設計“因式分解”單元教學的流程

單元教學設計是課程開發的基礎單位，它需要脫離“課時主義”的束縛，在整體思維的指導下，根據因式分解知識的內在邏輯，對課標、教材等教學要素進行連貫分析，從宏觀角度析出單元教學目標及重難點.但同時，單元教學設計以課時為單位在教學實踐中落地實施，它還需要教學環節的配合，因此，因式分解的單元教學設計還應兼顧教學環節的具體性，以教學要素分析結果為基礎，對教學階段與課時進行系統且循序漸進的設計，形成單元教學方案，使得該單元教學具有切實可行的操作性.

3 數學運算素養視域下“因式分解”單元教學設計

3.1 單元教學內容

數學運算能力不僅是一種數學操作能力，更是一種思維能力，因式分解不僅是培養學生數學運算素養的重要載體，并且對于培養學生的解題技能有著獨特的作用.因式分解這部分內容一直是初中數學教學中的重點和難點，它是整式乘法的一種恒等變形，與整式乘法運算互為逆向變形，是后繼學習分式、一元二次方程的重要運算基礎，對二次根式的化簡以及韋達定理的應用、研究二次函數的性質、研究整式方程提供了重要的理論依據及運算方法.利用因式分解的運算技能，可使一些式的運算合理、簡便.本文將從培養學生的數學運算素養出發，以人教版教材與北師大版的教材為知識整合的來源，以因式分解的概念與方法為主線，選擇因式分解、提公因式法、公式法以及十字相乘法四部分內容為單元教學設計的內容.

3.2 教學要素分析

3.2.1 數學分析

“因式分解”這一單元的內容對于學生全方位的數學運算素養的培養及數學學習能力的完善有著至關重要的作用，它是初中數學運算學習的重中之重，貫穿于整個數學學習過程之中，從小學階段的因數分解可以引出因式分解的概念和意義，因式分解不僅在解方程、解不等式、分式的化簡等運算的學習中提供了重要的理論支撐，而且是函數、幾何、圓錐曲線等學習中重要的數學運算工具.除此之外，因式分解的學習不僅是對之前所學的恒等變形的升華，并且其中蘊含的逆向思維是以后數學學習中的重要思維方式.

3.2.2 課標分析

《義務教育數學課程標準(2011年版)》中對因式分解的要求有[5]：

(1)在數與式中要求學生能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超過二次)進行因式分解(指數是正整數)；

(2)在方程與不等式中要求學生理解配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程.

從上述要求可以看出，這一單元的教學要求是：以學生在小學階段對因數分解內容以及關于數字運算的相關法則的學習為基礎，啟發其理解并掌握因式分解的概念與意義；并且使學生通過因式分解方法的學習及其在解一元二次方程等方面的重要應用，進一步培養學生的數學運算素養，并促進其整體思想、類比思想、轉化思想、換元思想等重要思維品質的養成.

3.2.3 教材分析

教材分析以使用人數較多的人教版與北師大版的教材為分析對象，對其中關于“因式分解”這一學習單元的設置進行比較分析，人教版與北師大版教材關于“因式分解”內容設置情況如表1所示.

表1 人教版與北師大版教材關于“因式分解”內容的設置情況匯總表

在人教版的教材中，將因式分解的內容設置在八年級下冊，并且將整式的乘法與因式分解設置為同一章，讓學生趁熱打鐵，以整式的乘法為鋪墊，利用其逆向運算促進學生對因式分解的理解和掌握，在“因式分解”這一學習單元，除了對提公因式法、公式法的學習外，還將十字相乘法設置為閱讀與思考的內容，為學生因式分解的學習拓寬了知識面.人教版的教材注重幫助學生理解因式分解的意義，以學生之前關于數學運算的學習為基礎，以數學思想方法(從特殊到一般，類比，轉化，歸納，整體性)為手段.通過“探究”、“思考”、“練習”等欄目，培養學生觀察、發現、類比、歸納等各項數學學習的能力，達到對因式分解的方法及算理的理解，掌握其重要的運算技能.

在北師大版的教材中，將因式分解這一單元獨立成章設置在八年級下冊，此教材首先使用數形結合的方式引入因式分解的概念，而將整式的乘法運算與因式分解之間的逆向運算關系作為學生觀察思考的內容.北師大版教材在設計上，盡可能幫助學生從幾何角度理解代數的含義，利用數形結合的方法，發展學生的類比思想，以及從特殊到一般地思考問題的方法，幫助學生體會數學知識之間的關聯性.

通過以上的分析比較發現，人教版與北師大版的教材都依據課標要求設置相應的學習內容，人教版的教材注重學生數學知識的梳理，而北師大版教材比較注重學生發散思維的養成，兩版教材在學習內容的設置上有不同的側重點.在因式分解這一單元教學內容及教學方式的選擇上，教師可以根據實際學情，以兩個版本的教材內容為來源，根據培養學生的數學運算能力及學生數學思維品質的養成需要進行單元教學設計.

3.2.4 學情分析

初中學生的認知發展水平處于從“具體運算階段”向“形式運算階段”過渡期，這個階段的學生思維逐漸擺脫了具體事物的束縛，他們可以根據種種可能的假設進行邏輯推理[7].基于小學階段的學習，學生對數學運算有一定的認知基礎，包括對因數分解、乘法分配律等的學習，從而學生對因式分解的學習有一定的學習慣性和邏輯關聯性，整式的加減乘除運算已經在直觀上為學生進行因式分解的學習提供了必要的基礎，在教學中應該引導學生通過觀察、歸納和類比學習，使學生從數的運算到式的運算的算理、運算能力等發生遷移，而且學生在代數式的其他相關內容的學習過程中已經積累了一些活動經驗，具備了初步的抽象、歸納、概括、分析問題和解決問題的能力，對本單元教學內容的學習展開有相當充分的知識和能力準備，讓該學段的學生有了數學學習合理性和必要性的深刻感受.

但是根據學生的知識預備現狀，學生的抽象思維能力與邏輯思維能力有限，容易在邏輯推導過程和結構特點的認知上存在一定的錯誤和偏見，如因式分解與整式乘法混淆，分解不徹底，不夠“靈活”地進行分解等，讓學生動手操作體驗，以避免習慣性思維形成的知識構建.另外學生的觀察、歸納、類比、概括等能力，有條理的思考及數學語言表達能力還有待加強.

3.2.5 教學目標及重難點分析

教學過程是一個基于目標達成的教學活動，從“三維目標”到“四基四能”再到“數學核心素養”，都是數學學科在發展成熟的過程中形成的總體教學目標，對于“因式分解”的單元教學目標，應以總體目標為導向，以數學運算素養的培養為主體進行預設：

(1)在知識與技能方面.使學生充分認識因式分解的學習價值，深刻理解因式分解對象，掌握因式分解、提公因式法、公式法的運算程序，了解利用十字相乘法進行因式分解的方法，能將因式分解的運算方法靈活運用于問題解決的過程中.

(2)在過程與方法方面.使學生經歷因式分解的整個學習過程，感受整式乘法與因式分解之間的逆向思維，體會數形結合、歸納類比的數學思想，體驗由和差到積的形成過程；鼓勵學生積極探究，針對具體問題，選擇合理的因式分解方法解決問題，初步獲得因式分解的經驗.

(3)在情感態度方面.使學生積極參與到數學學習活動中，進一步發展其數學運算能力，使其充分認識數學科學嚴謹、應用多元等的特點，通過因式分解的學習，促進學生數學思維的發展，養成勤于思考、敢于質疑、勇于探究、合作交流等良好的學習習慣，形成求真務實、理性嚴謹的科學態度.

本單元的教學重點有：(1)理解因式分解的意義；(2)能運用提公因式法和公式法進行因式分解；

本單元教學難點有：(1)理解因式分解的意義；(2)理解整式乘法運算與因式分解之間的互逆關系；(2)能夠針對具體的運算問題，選擇合理的因式分解方法，設計運算程序，解決運算問題.

3.2.6 教學方式分析

課堂是學生數學核心素養養成的主要渠道，因式分解的單元教學設計作為課堂教學的預設，應基于學生數學運算素養的培養及數學思維能力的養成，緊扣教學需要確定教學方式與教學手段.基于對以上各個教學要素的分析，在“因式分解”這一單元的教學中，教師盡可能采用信息化教學手段，引導學生探求解決問題的方法，堅持啟發式教學，重視知識的形成和應用，指導學生學習數學的方法.

對于“因式分解的概念與意義”的教學.教師利用信息化教學手段，使學生充分認識數形結合的思想方法；在教師的啟發指導下，讓學生經歷從分解因數到分解因式的過程，通過觀察、類比等手段，讓學生體會數學中的類比思想；引導學生通過對整式的乘法與因式分解進行對比，使其初步認識互逆關系.

對于“提公因式法”“公式法”的教學.通過演示、討論、觀察、比較、歸納等多種方法教學，巧妙利用多媒體輔助教學，呈現知識的形成過程，調動學生參與教學的積極性，使學生在因式分解方法的學習過程中，體會因式分解方法的意義和作用.

對于十字相乘法的教學.在學生已有知識經驗的基礎上創設教學情境，引導學生自己觀察、發現、探索、討論、歸納的過程中，進一步認識因式分解，使學生學會在理解運算對象的基礎上，通過探究運算思路，選擇合理的方法分解因式.

通過自主探究、合作交流、教師講授等多種教學方式及信息化教學手段的運用，使學生明確掌握“因式分解”的意義及其算理，并在以后的數學學習中能夠靈活運用，逐步認識到數學知識的關聯性及整體性，使學生逐步形成正確的數學觀.

3.3 單元教學流程

3.3.1 教學階段規劃

因式分解的單元教學，主要分為以下四個階段(見表2)：

表2 單元教學階段規劃劃分

3.3.2 課時劃分

本單元的教學過程共劃分為5個模塊7個課時：(1)因式分解(1課時)，(2)提公因式(2課時)，(3)公式法(2課時)，(4)專題：十字相乘法(2課時)，(5)回顧與思考(1課時)，具體教學內容見表3.

表3 單元教學內容課時劃分

3.4 單元教學設計反思

鐘啟泉教授認為單元設計“不可能一蹴而就，也不可能一勞永逸”，它是一個動態發展的過程，需要經過實踐及科學合理的評價之后，再反思、再修正，它是一個循環往復的過程，針對本單元教學設計，作以下反思：

(1)因式分解應用的教學內容在單元教學設計中涉及較少.因式分解的教學除了其概念意義、因式分解方法之外，應涉及因式分解的應用教學，但因考慮到因式分解的應用問題牽扯太廣，會淡化教學主題、加大單元教學的壓力及學生的學習負擔，所以此單元教學設計對因式分解應用環節的設計較粗淺，但是基于學生對因式分解學習價值與學習意義的進一步體會，有無必要繼續增加因式分解的應用教學，以及在兼顧單元教學效果與學生學習需要的基礎上，如何加，加什么，還需廣大教育學專家學者、教育工作者作進一步研究.

(2)學情分析需要與學生實際情況相結合.本單元教學設計學情分析的主要依據是皮亞杰的認知發展理論及數學學習理論，但是實際學習因式分解這一單元的學生學情還需教師針對學生的數學學習基礎、學習興趣等作進一步分析，根據實際學情調整單元教學設計.

(3)十字相乘法能否加入單元教學內容還需研討.本單元教學設計的教學內容除課標要求的教學內容之外，加入了十字相乘法的專題拓展教學，這也是出于對學生數學運算素養的培養，但是對于數學學習基礎薄弱、學習興趣不高的學生而言，加入過多較難較復雜的學習內容，會適得其反，使教師的教學壓力和學生的學習壓力加重，增加學生的厭學情緒.鑒于此，在實際教學中，教師可以根據學生情況，對于學困生，將十字相乘法作為了解的內容；對于數學學習基礎較好的學生，可讓其理解并掌握.