2019年高考浙江卷第21題的探究及教學啟示

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浙江省麗水中學

2019年浙江高考結束后，關于數學試題偏難的消息鋪天蓋地.學生普遍認為解析幾何題難入手，變元之間難轉化，甚至有種解析幾何“白學”的感覺.浙江高考卷向來重視學生的數學能力考查，我覺得2019年第21題是對學生解析幾何基本能力的很好考查，是讓學生理解解析幾何是坐標幾何的經典例題，有利于培養學生的數學建模和數學運算等核心素養.下面我們一起來欣賞這道題的風采.

1 題目呈現

圖1

(2019年高考浙江卷第21題)過焦點F(1, 0)的直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點，點C在拋物線上，△ABC的重心P在x軸上，直線AC交x軸于點Q(點Q在點F右側)．

(1)求拋物線的方程及準線方程；

條件分析由焦點坐標可以求得拋物線方程是y2=4x，準線方程是x=-1.

第二問是求兩塊面積之比，由于A,B,C三個點都是動點，所以學生在考場里面就覺得題目難入手，找不到問題的突破口.波利亞在著作《怎樣解題》中提出了一個有名的解題理論表：

下面我們將根據波利亞的解題理論表展開解題策略探究.

策略一設點參數建立單參數函數模型

點評策略一是由焦點弦性質得到A，B兩點的坐標關系，由重心坐標關系進而得到A，B，C三點的縱坐標之間的關系. 通過直線的點參數方程，代數化的面積比表達式中每一個量都可以用y1表示，最終建立關于y1的目標函數，需要學生具備很好的轉化與化歸能力.在消元的過程中需要有很好的數學運算能力，我們在平時的教學過程中更多的要讓學生動手計算，體驗解析幾何中坐標間的相互轉化，這與解析幾何培養學生數學運算能力的初衷是一致的.點參數的思想方法與解析幾何是坐標幾何的本質相吻合.但是這種策略計算量大，考試的有限時間內需要我們進一步挖掘題目的幾何背景.

策略二挖掘幾何背景構建單參數函數模型

解析由于點P是△ABC的重心，連接BP，則SAPB=SAPC，

圖2

目標函數處理策略一

目標函數處理策略二

目標函數是關于y1的高次分式函數，通過拋物線方程降次，因為y12=4x1

點評策略二是在挖掘題目幾何背景后巧妙地得到面積比的函數模型，解析幾何是用代數的方法解決幾何關系與性質的一門幾何學分支，利用重心這一幾何性質得到面積相等，可以用縱坐標表示底邊之比，進而建立面積比的函數模型，幾何代數相得益彰，與解析幾何的思想方法相輔相成.解析幾何的教學要引導學生善于發現幾何背景，善于化歸幾何關系，善于幾何關系代數化.

策略三借助幾何性質構建雙參數函數模型

故P(2,0).

點評多元最值問題常用的方法是消元，同時也要分析題目條件與目標的結構，積定平方和最小這樣的不等式思想引導我們建立二元目標函數，這也體現了不等式是處理解析幾何目標函數的重要方法，與解析幾何韋達定理設而不求的思想相輔相成！

策略四設直線構建單參數函數模型

解析設直線lAB:x=ty+1,則

點評設斜率參數求解表達式最后的結果是關于y1和t雙元函數，通過韋達定理容易消去t，得到與策略一一樣目標函數，問題最后還是回歸到點參數上，與命題者的初衷一致.

策略五借助平面向量基本定理構建單參數函數模型

點評平面向量在幾何問題中有獨特的優勢，用向量基本定理構建面積比函數模型，感悟“基”的思想，正是數學知識融會貫通的體現.通過分析發現策略四解題過程中并沒有用到拋物線的方程以及性質.由圖形可知這道題明顯考察直線與拋物線綜合問題，為什么可以離開拋物線解題？P點坐標又怎么求？帶著疑問進一步挖掘題目的命制背景.

深度挖掘題目命制背景

點評命題背景其實是三角形中有關重心面積比最值的問題，這個問題與拋物線沒有任何關系，只是通過將三角形置于拋物線中，探究△ABC三點坐標間的關系求解重心坐標，考查了直線與拋物線相交弦性質，這也是命題者一定要求解重心坐標的原因.

3 變式提升

條件分析將拋物線改為橢圓，A、B仍然滿足焦點弦性質，點C在拋物線上，沒有改變問題的本質,弄清了題目的本質，其實點C在什么位置是沒有關系的.

圖3

變式2 (2019湖州三校聯考)已知拋物線L:y2=2px(p>0)的焦點為F，過點M(5,0)的動直線l與拋物線L交于A,B兩點，直線AF交拋物線L于另一點C，|AC|的最小值為4.

(1)求拋物線方程；

(2)記△ABC,△AMF的面積分別為S1,S2，求S1·S2的最小值.

條件分析A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，y1·y2=-20，

(1)求拋物線C的方程；

(2)設點M(t,0)，N(2t,0)(t為正常數)，直線PM，PN分別交拋物線C于A、B兩點，求△ABP面積取最小值時點P的坐標.

圖4

條件分析C:y2=4x，P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)，可求得

實現了三個點坐標間的相互轉化.下面解法同理2019年浙江卷21題.

點評變式2與變式3坐標間相互轉化的思想與高考題的思想是一致的，只是高考題幾何味道濃一點，需要學生利用重心化歸面積比函數模型，更加體現解析幾何的本質.

4 題目價值

設點與設線是處理直線與圓錐曲線綜合問題最基本的方法，本道拋物線與直線的綜合問題需要學生發現問題的幾何背景并且厘清題目中三個動點之間的關系，用點參數建立模型比斜率參數建立模型容易處理，這與學生的一貫思維有所區別，啟示學生不能思維定式，要具備分析問題，解決問題的能力.很好地體現了解析幾何是坐標幾何這一重要特征.題目注重考查學生的數學建模，數學運算等核心素養.重視解析幾何本質問題的探究，體現了想的多一點的命題理念.有利于引導高中數學突出數學本質，重視學生對數學的探究；有利于落實新課程改革精神，實現高中數學教學的高質量運行，進一步推動中學的素質教育.

5 教學反思