由一道求比值問題所引發的探究與思考

(郵編：200435 )

上海市嶺南中學

1 問題提出

圖1

圖2

2 三點探究

2.1 如何證明D、E、F三點共線？

2.2 圖2的輔助線生成點到底在哪里？

既然證明D、E、F三點共線比較棘手，不如反其道而行之，直接延長DE至點F，使EF=BE，連接CF與AF，那么四邊形ABCF為正方形嗎？即△ABD與△FCD全等嗎？遺憾的是依據該輔助線的作法不易證明．注意到兩三角形確實全等且BD=CD、∠EDC=∠ADB，不妨延長DE后使DF=DA，則△FCD≌△ABD，得FC=AB且∠FCD=∠ABD=90°(即四邊形ABCF為正方形)，易證△BCE≌△FCE得BE=FE，問題迎刃而解．當然，圖2的輔助線也可描述為“過點C作CF⊥BC，交DE延長線于點F”，證明也是手到擒來之舉．

綜合分析上述兩種方法可知，輔助線生成點本質在于如何把兩條線段BE與ED整合成一條線段DF，從而把三條線段間的比轉化為兩條線段間的比．因此，由等腰直角三角形想到補為正方形看似精彩，但卻只是一種表象，屬于特殊條件下的技巧性處理，不具有一般性．

圖3

既然是把線段BE與DE整合成一條線段，那么能否把它們直接整合在射線BE上呢？當然直接在BE的延長線上截取EP=ED不易處理，但過點C作BC的垂線BP并截取CP=CD，連接EP、BP(如圖3)，則易證△ABD≌△BCP且△CDE≌△CPE，得∠BPC=∠ADB=∠EDC=∠EPC，即B、E、P三點共線，仿上也可求得比值．

圖4

2.3 求線段比有哪些轉化策略？

策略一求值計算轉化

圖5

第二、求出所求比的兩條線段與第三條線段間的數量關系．

圖6

第三、直接計算兩線段的長度

圖7

策略二利用比例轉化．

圖8

例4 (2018年大連市中考第25題)如圖8，△ABC中，點D在AB上，點E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，點F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延長DC、FE，相交于點G，且∠DGF=∠BDE．

(1)在圖中找出與∠DEF相等的角，并加以證明；

(2)若AB=kDF，猜想線段DE與DB的數量關系，并證明你的猜想．

說明課前三天筆者就把例1與網友提供的圖2印發給學生，同時拋出了上述三個思考問題，并要求學生對自己研究的結論或觀點應提供配套習題加以佐證．上面是筆者依據課堂探究結果整理而得，其中例2與例4由筆者提供并當堂完成，而作為2019年本區一模考填空題壓軸題的例3并非課堂上的探究題，原題由學生抄自教輔資料．不過令人欣慰的是，在本次一模測試中筆者所任教班級例3的得分率為0.57，遠超于區0.28的平均水平，可見課堂教學效果發揮了關鍵作用．另外，課堂上還處理了學生課前準備的兩道證明三點共線題，限于篇幅整理時略去．

3 三點思考

3.1 習題教學應避免“就題秀法”

“就題論題”現象雖然在日常教學中依然有一定的“市場”，但畢竟容易遭到詬病，因此在各類展示課與比賽課中已難得一見，取而代之的是“一題多解”“一模多能”或“一圖一課(其實就是一題多變)”等更加開放性的習題教學新模式．單就“一題多解”的課堂教學而言，筆者經過長期觀察發現：其基本流程往往只是不同解法的一一展示，缺少對方法生成的本質挖掘，似有“秀”方法之嫌．另外，發表在各類數學雜志上“一題多解”類文章有些也只是把各種解法進行簡單羅列，對“為什么會產生一題多解”缺乏深層次挖掘，也有見“法”不見“理”之感，對習題教學可能會存在一定的誤導．相反，筆者正是從挖掘輔助線的生成本源入手，揭示了例1中圖2的輔助線并非源于“補形”，而是意在將分子中的兩條線段整合成一條線段(即把三條線段之比轉化為兩條線段之比)，進而從“截長補短”角度生成出一題多解．然后又從“如何求線段比”入手，打開生成“一題多解”的另一扇窗．特別是思路分析也并非解題過程的簡單呈現，而是從“知識轉化”角度詳細剖析思維生成的來龍去脈，不僅講清“怎樣做”，還著重明析“為什么這樣做”，引導學生學會“怎樣想”，為提升學生分析問題的轉化能力奠定堅實的基礎．

3.2 習題教學應注重“以題會類”

雖然“題海戰術”之弊人皆知之，但“反復刷題”卻又讓不少同仁欲罷不能，其中緣由固然復雜，但缺乏“以題會類”的教學意識恐怕也是不容忽視的重要因素之一．課堂上，筆者以追求“以題會類”的習題教學最高境界為重，從知識轉化角度，借助“知識溯源(回顧初中階段與解題目標相關的知識源)”，針對“如何證明三點共線”歸納了四種常見的處理方法，又通過四道例題詳細剖析了“如何求線段比”的轉化策略，明析處理這兩類問題的主要思考方向，并針對不同題目詳細分析如何依據條件而選擇適當知識源進行轉化的策略解讀與示范操作，極大地提升了學生處理同類問題的遷移與類化能力．

3.3 習題教學應突出“能力為重”

令人欣慰的是，“以發展學生思維能力為重”的習題教學觀早已深深植根于廣大同仁的育人理念，不過究竟如何發展學生的思維能力還是仁者見仁智者見智．對此，筆者的實踐體會是務必要堅持三點：第一、完善學生處理問題的思維方式是發展思維能力的基礎．與只教“做法”不同，筆者還長期堅持教“想法”，引導學生用“知識溯源式目標分析法”解決問題，從而學會“怎樣想”．所謂“知識溯源式目標分析法”主要分為三步——首先要明確問題的目標是什么(如例1的目標就是求線段之比)、其次追溯初中階段與目標相關的知識源(如求線段比的知識源主要有計算與比例轉化兩大類)、最后依據題目條件選擇合適的知識源逐步轉化(如例1依據特殊的等腰直角三角形和中點等條件宜選擇通過計算求比值)；第二、豐富學生處理問題的轉化策略是發展思維能力的關鍵．解題中思維受阻是無法避免的，這就要求學生要具備豐富的轉化策略，積極調控受阻思維，突破難點．雖然轉化策略在形式上千變萬化(如化復雜為簡單、化陌生為熟悉、化繁難為簡易、化一般為特殊、化綜合為單一、化高維為低維等)，但依據“所有數學問題都是運用所學過的知識解決的”可知“知識轉化”才是一切轉化之源(無論是“求線段之比”還是“證明三點共線”都體現了“知識轉化”精髓；即使對于“截長補短”，在把線段不等關系轉化為相等關系再轉化三角形全等的轉化線路圖中，也凸顯了“知識轉化”的主線)．因此，實際教學中只有堅持以“知識轉化”為本，才能真正豐富學生的轉化策略，提升他們的轉化能力；第三、發揮學生處理問題的能動性是發展思維能力的保障．毫無疑問，課前拋出問題以留給學生足夠的思考與探究時間、課堂上放手讓學生暢談自己的想法與做法、課后鼓勵學生進一步探究與質疑等系列舉措，積極發揮了學生參與問題解決的能動性，激活了他們思維的主動性與創造性，全面地提升了他們的思維能力．

當然，如何加強對習題潛在功能的挖掘是一個永恒的開放性主題，也值得大家深度思考與進一步探索．