一道2019年高考導數解答題的探究

(郵編：100071)

北京市第十二中學高中部

1 試題

(2019年高考全國卷Ⅰ，文20)已知函數f(x)=2sinx-xcosx-x，f′(x)為f(x)的導數.

(1)證明：f′(x)在區間(0,π)存在唯一零點；

(2)若x∈[0,π]時，f(x)≥ax，求a的取值范圍.

試題以三角函數為背景，考查了正(余)弦函數的性質、函數零點、含參數不等式恒成立以及導數在解決函數問題中的應用，考查了學生分析問題與解決問題的能力以及數形結合、設而不求等數學思想方法.試題與函數、三角函數、不等式、導數等知識相融合，體現了在知識交匯處命題的特點.試題解法多樣，為學生搭建了施展才能的舞臺，是一道好題.

2 解法探究

(2)解法1 (數形結合法)由(1)知，f′(x)在區間(0,π)存在唯一零點，設為x0，當x∈(0,x0)時，f′(x)>0；當x∈(x0,π)時，f′(x)<0，所以f(x)在(0,x0)上單調遞增，在(x0,π)上單調遞減.又f(0)=0，f(π)=0，所以當x∈[0,π]時，f(x)≥0.畫出y=f(x)與y=ax在[0,π]上的圖象，如圖，由x∈[0,π]時，f(x)≥ax，知a≤0，故a的取值范圍是(-∞,0].

點評解法1先借助導數研究函數f(x)的性質并畫出相應的圖象，然后比較直線y=ax與f(x)圖象位置的情況，從而得出答案，體現了直觀性.在用圖象法解決含參數不等式恒成立問題時，除了研究函數的單調性以外，有時還需研究函數的凹凸性，這樣才會使圖象更加準確.參數的邊界值通常是在直線與曲線相切或直線過曲線一個端點時得到.

點評解法2通過作差構造了一個新函數g(x)=2sinx-xcosx-(a+1)x，接下來兩次求導并分類討論研究了函數g(x)的性質，從而將問題解決.在對參數進行討論時，應劃分好標準，做到不重不漏，最后還要對參數的范圍進行整合，這樣才會使步驟規范，解答完整.

點評相比較于解法2，解法3簡潔了很多，這得益于先通過取特殊值x=π，根據f(π)≥aπ，得到了a≤0，這是參數a所滿足的一個必要條件，也就是說a>0時的情況肯定不滿足題意，從而縮小了討論的范圍.先必要后充分法是解決含參數不等式恒成立問題的一種方常用法，操作時，可嘗試從區間的端點入手，在確定了參數的范圍之后，再從充分性的角度進行論證.

點評通過參變分離，避免了討論，使解答過程更有針對性，在解決這類問題時應優先考慮.

以上通過一道高考試題介紹了解決含參數不等式恒成立問題的常用策略，這類問題在高考中頻繁出現，成為了新的熱點，應引起師生的高度重視.教學中，教師應引導學生比較各個方法的特點，及時歸納、梳理，總結規律，這樣才會融會貫通，真正提高解題效率.

有興趣的讀者可以嘗試用上述方法解答2017年高考全國卷Ⅱ文科第21題和2016年高考全國卷Ⅱ文科第21題.