2019年全國Ⅱ卷高考橢圓試題的拓展變式研究

(郵編：528454)

廣東省中山紀念中學

摘 要2019年全國Ⅱ卷理科第21題以橢圓為背景，第一問考查了動點軌跡方程的求法；第二問在橢圓中構造了三角形，證明它是直角三角形并求其面積的最值，體現了解析幾何研究的兩個主要問題：(1)根據已知條件求曲線的方程；(2)通過曲線的方程，研究曲線以及有關圖形的幾何性質，這是一道極具拓展價值的好題.

關鍵詞橢圓；軌跡方程；最值

(Ⅰ)求C的方程，并說明C什么曲線；

(Ⅱ)如圖1，過坐標原點的直線交C于P、Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點G.

圖1

①證明：△PQG是直角三角形；②求△PQG的面積的最大值.

拓展1 平面內動點M(x,y)與兩定點A(-a,0)、B(a,0)連線的斜率之積為常數δ(其中δ≠0)時，動點的軌跡是什么？斜率之商、和、差為常數δ時，動點的軌跡又是什么呢？

第二問先證△PQG是直角三角形，再在此基礎上求△PQG的面積，我們可以拓展如下.

①

②

③

④

⑤

最后看看動直線PG具有什么性質，我們給出如下拓展.

⑥

圖2

但是⑥式并不滿足上述特點，故直線必不過定點！既然如此，動直線PG是否還具有其它性質呢？通過作圖發現它形成了包絡線，其圖象如圖2所示(圖中僅顯示了包絡線在y軸右側的部分圖象).

下面求動直線L(k):y=A(k)x+B(k)形成的包絡線方程. 設包絡線的參數方程為:

其中k為參數，點(x(k),y(k))∈L(k)，由包絡線的定義知動直線L(k)在點(x(k),y(k))處與相切，結合參變量函數的導數的意義[2]有

⑦

對⑥式兩邊求導得y′(k)=A′(k)·x(k)+A(k)·x′(k)+B′(k)

⑧

⑨

由⑨式消去參數k即得所求包絡線的一般方程.

由⑥式得

⑩

此處⑩式即為動直線PG形成的包絡線的參數方程.