2019年北京卷理科第18題別解與推廣

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山東省泰安市寧陽第一中學

試題已知拋物線C:x2=-2py經過點(2,-1).

(Ⅰ)求拋物線C的方程及其準線方程；

(Ⅱ)設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M、N，直線y=-1分別交直線OM、ON于點A、B，求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點.

這是2019年北京卷理科第18題，我們首先給出試題的一種新解法.

解答(Ⅰ) 由拋物線C:x2=-2py經過點(2,-1)，則4=2p，所以拋物線C的方程為x2=-4y，其準線方程為y=1；

設以線段AB為直徑的圓與y軸上的兩個交點為P、Q，由圓的性質得|PF|=|QF|.由圓中相交弦定理得|PF|·|QF|=|AF|·|BF|=|xA|·|xB|=|xA·xB|=4，則|PF|=|QF|=2，故以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點(0,1)和(0,-3).

一般地，對于拋物線C:x2=-2py(p>0)，我們有如下結論：

則y1y2=k2[x1x2+c(x1+x2)+c2]

(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a2

若將命題2中左焦點改為右焦點，直線x=-c改為x=c，我們有如下結論：

若將命題2中直線x=-c改為x=c，我們有如下結論：

若將命題2中左焦點改為右焦點，我們有如下結論：

可以仿照命題2的證明給出命題3、4、5的證明，從略.

y1y2=k2[x1x2+c(x1+x2)+c2]

(x1+a)(x2+a)

可以仿照命題6的證明給出命題7、8、9的證明，從略.