巧“構”幾何模型 妙解倍角問題
——一道數學試題的解法再研究

(郵編：432200)

湖北省武漢市黃陂區教學研究室

本文探討的是2018～2019年第一學期武漢市黃陂區期末考試第10題.作為選擇壓軸題，試題主要著眼于學生現有知識水平和能力儲備，巧妙地將一個2倍角問題融入兩個等腰三角形中，突出能力立意，關注核心知識，聚焦核心素養.試題能較好地發揮考試的評價與導向功能，下面總結了幾種不同的解題思路與方法，試圖探尋試題背后的教與學的思考，以期與廣大同仁分享交流.

1 試題呈現

C. 90°-αD. 180°-3α

圖1

2 解法賞析

2.1 構造角平分線模型

利用2倍角形成角平分線模型從而構造全等(即等腰三角形頂角的外角正好是其中一個底角的2倍).

圖2

方法1 如圖2， 過點B分別作BE⊥AD，BF⊥AC，垂足分別為E、F，

所以∠EAB=∠BAC=2α，由BC=BD，

易證△BED≌△BFC，

所以∠ADB=∠ACB=α，

易證∠DBC=∠DAC=180°-4α，

故∠BDC=2α，故選A.

點評由于等腰三角形頂角的外角正好是其中一個底角的2倍，而∠ABC也是等腰三角形底角∠ABD的2倍，即頂角∠BAD的一個外角與∠ABC構成角平分線模型，再利用角平分線模型向角兩邊作垂線構造全等三角形證明角相等，最后利用三角形內角和定理計算、轉化即可解決問題.這種解法通俗易懂，也是解決此類問題重要方法.

圖3

方法2 如圖3，延長DA至E，使AE=AC，

易證△AEB≌△ACB，

故BE=BC=BD，

即∠E=∠ADB=∠ACB=α，

易證∠DBC=∠DAC=180°-4α，

所以∠BDC=2α，故選A.

點評同方法一類似，利用角平分線模型在DA的延長線上截取AE=AC，構造具有對稱關系的全等三角形，從而產生等腰三角形△BDE，再用類似的方法轉化計算.這種方法學生也容易理解并掌握，關鍵還是在于這個“隱藏”的角平分線信息的提取.

2.2 構造等腰三角形模型

圖4

方法3 如圖4，延長CA至E，使AE=AB.

所以∠EAB=∠BAD，

易證△AEB≌△ADB，

故BE=BD=BC，

故∠E=∠ADB=∠ACB=α，易證∠DBC=∠DAC=180°-4α，

則∠BDC=2α，故選A.

點評利用2倍角向外作等腰三角形模型，從而產生于原等腰三角形成軸對稱關系的全等三角形，從而證明△BCE為等腰三角形.這種方法也是處理2倍角幾何問題最常見方法之一.

2.3 構造旋轉全等模型

圖5

所以 ∠BAC=∠DAE=2α，

易證△BAC≌△DAE，

所以∠E=∠ACB=∠ADB=α，

易證∠DBC=∠DAC=180°-4α，

故∠BDC=2α，故選A.

點評：由于等腰三角形△ABD的頂角的外角正好等于∠ABC，利用這一相等關系旋轉△ABC向外構造旋轉型全等三角形，也同樣能產生等腰三角形△BDE.再借助等腰三角形及三角形內角和轉化計算.這也是一種較常見的幾何變換構造方法.

3 題后反思

對于這類角平分線模型“隱藏”很深的題目，學生往往不容易發現，從而產生“山重水復疑無路”的困惑，究其根源還是學生對題目信息的解讀不準確，對數學模型及相關性質不熟練，數學綜合運用能力形成不夠.而一旦學生從已知條件解讀出“隱藏”的幾何模型及其關系，就會獲得“柳暗花明又一村”的頓悟.

3.1 挖掘模型本質，尋求解題策略

幾何問題通常由基本圖形或基本幾何模型構成，掌握了這些基本圖形或基本幾何模型及相關性質就能夠解決一般的幾何問題.而在實際應用中一些基本圖形往往經過“抽絲剝繭”或是“特殊化”等方式隱藏在圖形之中，學生往往不易發現，這就要求平時要強化讀圖、識圖的教學，通過一題多解、一題多變，深度挖掘幾何模型的基本性質特征，探索數學解題的基本策略.

3.2 關注模型疊加，強化模型應用

在實際解題應用過程中，較復雜的數學問題往往不會是一個單一的幾何模型，而是多個模型的疊加，特別是幾何壓軸題.在教學中要多引導學生耐心觀察，仔細分析，依據條件挖掘基本模型，尋找多個模型之間的交叉點，合理轉化，深化應用，提高學生識別的應用能力，力爭做到遇到問題“站得高，看得遠，信心足”.

3.3 突出通性通法，提升學科素養

在數學教學中應注重數學基礎知識的積累，領悟其中蘊含的數學思想方法，突出核心知識，熟悉常見的基本幾何模型及其性質特征，注重數學通性通法.關注數學知識體系與生活的密切聯系，在數學解題教學中加深學生對數學知識的理解、強化應用意識，提升學科綜合素養.