淺談高考數(shù)列綜合問題的解題策略及反思

(郵編：748200)

甘肅省渭源縣第一中學(xué)

近年來，高考數(shù)列試題注重?cái)?shù)列與函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)、不等式、平面向量、解析幾何等知識的交匯，命題者在命題的生成方式上不斷創(chuàng)新，“在網(wǎng)絡(luò)交匯處命題”豐富了命題素材，拓寬了命題渠道，題目有一定的難度和綜合性，以此測試邏輯推理能力和理性思維水平，以及考查學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力.本文擬就數(shù)列綜合問題的解題策略簡議如下：

1 待定系數(shù)法求解，基本量切入

例1 (2019年天津卷理第19題)設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，已知a1=4,b1=6，b2=2a2-2,b3=2a3+4.

(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{cn}滿足c1=1,

(i)求數(shù)列{a2n(c2n-1)}的通項(xiàng)公式；

解析(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.下用基本量法求{an}的通項(xiàng)公式為an=3n+1,{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3×2n.(過程略)

(Ⅱ)(i)a2n(c2n-1)=a2n(bn-1)=(3×2n+1)(3×2n-1)=9×4n-1，即為所求.

評注本題第(1)采用基本量法，方程思想求解等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；第(2)化歸與轉(zhuǎn)化思想化抽象為具體，然后再利用分組求和、錯(cuò)位相減方法求出數(shù)列前n項(xiàng)和.

反思等差(等比)數(shù)列中各自共涉及五個(gè)量a1、an、d(q)、n、Sn(稱為“基本量”)，第(1)問根據(jù)題設(shè)的條件，列關(guān)于基本量的方程組是關(guān)鍵，待定系數(shù)法求出公差d或公比q是“切入點(diǎn)”.第(2)問求{a2n(c2n-1)}時(shí)要用分段函數(shù)，要注意自變量的限制條件. “問題解決”就是通過數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式建立方程(組)，知三求二；“問題解決”就是以分段函數(shù)為載體，化抽象為具體，再針對通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)采用分組求和、錯(cuò)位相減法求和.學(xué)習(xí)中善于利用方程或方程組的思想、化歸轉(zhuǎn)化思想觀察處理問題，掌握數(shù)列求和的基本方法以及運(yùn)算求解能力，感悟這種數(shù)學(xué)思想．

2 數(shù)列求和問題為目標(biāo)，函數(shù)性質(zhì)切入

例2 (2014年四川卷第19題)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點(diǎn)(an,bn)在函數(shù)f(x)=2x的圖象上.(n∈N*)

(1)若a1=-2，點(diǎn)(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；

解析(1)由已知，得b7=2a7,b8=2a8=4b7，所以2a8=4×2a7=2a7+2，解得d=a8-a7=2，所以Sn=n2-3n.

評注第(1)問以特征量n、an、Sn等為坐標(biāo)的點(diǎn)在函數(shù)圖象上，可以得到數(shù)列的遞推關(guān)系式；第(2)問的項(xiàng)或前n項(xiàng)和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題.

3 解三角形為目標(biāo)，等差(比)中項(xiàng)切入

例3 (2014年陜西卷理第16題)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.

(1)若a、b、c成等差數(shù)列，證明sinA+sinC=2sin(A+C)；

(2)若a、b、c成等比數(shù)列，求cosB的最小值.

解析(1)因?yàn)閍、b、c成等差數(shù)列，所以a+c=2b.由正弦定理及內(nèi)角和定理得sinA+sinC=2sin(A+C).

評注第(1)問利用等差中項(xiàng)列出關(guān)系式，利用正弦定理和誘導(dǎo)公式變形即可得證,逆命題也為真；第(2)問利用等比中項(xiàng)列出關(guān)系式，并代入cosB，并利用重要不等式變形即可確定出其最小值．

4 放縮法證明不等式為目標(biāo)，“等價(jià)命題”切入

(2)由已知得an2=an-an-1，所以

Sn=a1-an+1

①

解答需要學(xué)會(huì)分解目標(biāo)，各個(gè)擊破的戰(zhàn)術(shù)，需要化歸轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，平時(shí)要有一定量的訓(xùn)練與積累，研一題， 悟一法，通一類，在探究“問題解決”中培養(yǎng)學(xué)生鍥而不舍的科學(xué)精神.

5 分割法求面積為目標(biāo)，以求通項(xiàng)公式切入

圖1

例6 (2017年山東卷理第19題)已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1+x2=3，x3-x2=2.

(1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；

(2)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，依次連接點(diǎn)P1(x1,1),P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)，得到折線P1P2…Pn+1，求由該折線與直線y=0,x=x1,x=xn+1，所圍成的區(qū)域的面積Tn.

所以3q2-5q-2=0.

因?yàn)閝>0，所以q=2,x1=1. 因此，數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn=2n-1.

(2)過P1、P2、P3、…、Pn+1向x軸作垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3、…、Qn+1，由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1.

評注第(1)問布列方程關(guān)于x1和公比q的方程組，確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵；第(2)問利用梯形的面積公式正確進(jìn)行“邏輯推理”，求得bn=(2n+1)×2n-2，應(yīng)用錯(cuò)位相減法即可.但存在的問題是分割法求梯形的面積較為困難，另外用錯(cuò)位相減法求區(qū)域的面積總是磕磕碰碰，不順暢.

反思聯(lián)想解題，看到第(1)問題設(shè)的結(jié)果，想到根據(jù)已知條件，采用基本量法為“切入點(diǎn)”，方程思想解決；看到第(2)問區(qū)域是折線與直線y=0,x=x1,x=xn+1所圍成的非規(guī)則的圖形，想到數(shù)形結(jié)合，想到通過分割化成若干個(gè)梯形面積之和，然后求第n個(gè)梯形PnPn+1Qn+1Qn的面積為“切入點(diǎn)”，找到了求和“模型”，并根據(jù)各項(xiàng)的特征求出面積Tn.

6 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用為目標(biāo)，以證明函數(shù)零點(diǎn)的存在性和唯一性切入

例7 (2015陜西卷理第21題)設(shè)fn(x)是等比數(shù)列1，x，x2，…，xn的各項(xiàng)和，其中x>0，n∈N，n≥2.

(2)設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為gn(x)，比較fn(x)與gn(x)的大小，并加以證明.

解析(1)Fn(x)=fn(x)-2=1+x+x2+…+xn-2，則Fn(1)=n-1>0，

當(dāng)x=1時(shí)，fn(x)=gn(x).

綜上所述，當(dāng)x=1時(shí),fn(x)=gn(x)；當(dāng)x≠1時(shí)，fn(x)

當(dāng)x=1時(shí),fn(x)=gn(x)；

當(dāng)x≠1時(shí),用數(shù)學(xué)歸納法可以證明fn(x)

評注本題是綜合性極強(qiáng)的題目，涉及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、零點(diǎn)定理、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，多個(gè)知識點(diǎn)交匯融合，求解構(gòu)造新函數(shù)法、作差比較法、數(shù)學(xué)歸納法等多種方法交織并進(jìn)，突出分類討論和邏輯推理的解題核心.

第(2)問有三種解法：

解法一 求出gn(x)后，作差——構(gòu)造新函數(shù)h(x)=fn(x)-gn(x)——對?x∈(0,+∞)，證明h(x)≤h(x)max=h(1)=0即可，這是解決這類問題常用方法和思維的“切入點(diǎn)”，“問題解決”中采用先逐項(xiàng)放縮，再求和，最后作差為零，所以這種放縮法和分類討論的思想對推理運(yùn)算能力是極大的考驗(yàn).

解法二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立.由假設(shè)n=k時(shí)命題成立，推出n=k+1時(shí)命題fk+1(x)

解法三 先求出一個(gè)等差數(shù)列{an}與一個(gè)等比數(shù)列{bn}的通項(xiàng)，通過比較通項(xiàng)的大小來比較各自和的大小，作差構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證明.

總之，核心素養(yǎng)形成的主體是學(xué)生，培養(yǎng)并提升核心素養(yǎng)，不能依賴“聽懂了”、就題論題，需要換位思考，習(xí)得“問題解決”的“切入點(diǎn)”，探究找到銜接點(diǎn)和解題的突破口，探明“問題解決”的“知識儲備”“方法技能儲備”，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題；需要理解、感悟、反思，更需要主動(dòng)、自覺、會(huì)學(xué)，將“學(xué)生為本”的理念與教學(xué)實(shí)際有機(jī)結(jié)合，最終實(shí)現(xiàn)自主建構(gòu)，才能讓核心素養(yǎng)落到實(shí)處.