巧借教材例題探究直線參數方程一般式

(郵編：230022)

安徽省合肥市第二中學

學生會感到困惑：一般式與標準式之間有何聯系？兩者中的參數t的幾何意義有何不同？能不能將一般式化為標準式？教材中沒有解決這些問題！為了幫助學生解決這些疑問，本文將從教材上一道例題出發，解開這些疑問的神秘面紗！

針對教材上例3(人教A版第37頁)，你有多少種解法？它在本節的意義和地位是什么？你有什么新的發現？

1 教材例題呈現

例3 當前臺風中心P在某海濱城市O向東300km處生成，并以40km/h的速度向西偏北45°方向移動.已知距臺風中心250km以內的地方，都屬于臺風侵襲的范圍，那么約經過多長時間后該城市開始受到臺風侵襲？受臺風侵襲的持續時間有多長？

解法一普通方程法

圖1

取O為坐標原點，取O為原點，OP所在直線為x軸，建立直角坐標系，如圖，則點P的坐標是(300,0).

以O為圓心，250km為半徑作圓O，當臺風中心移動后的位置在圓O內或圓O上時，城市O將受到臺風的侵襲.

解法二直線的參數方程法(標準式)

l過定點P(300,0),傾斜角α=135度,直線l的參數方程為

則t1

解法三直線的參數方程法(非標準式)

取O為原點，OP所在直線為x軸，建立直角坐標系，如圖，則點P的坐標是(300,0).

以O為圓心，250km為半徑作圓O，當臺風中心移動后的位置在圓O內或圓O上時，城市O將受到臺風的侵襲.

圓O的方程為x2+y2=2502.

因此，大約在2h后該城市開始受到臺風侵襲，持續時間約為6.6h.

小結：

解法一，學生很自然利用以前所學知識想到；

解法二，本節課核心知識的延續，學生不難理解；

解法三，從實際意義出發，設時間t為參數，借助參數t的物理意義解決問題

2 繼續探究，收獲新發現

問題是否到此就完美收官了呢？有些學生不會就此罷休：本題的解法二與解法三分別給出了直線l的兩種參數方程：

由此引出直線參數方程的一般式.

3 分析歸納，獲取新知

直線l的參數方程的標準式與一般式：

設直線l過定點M0(x0,y0),傾斜角為α，點M(x,y)是直線l上任意一點：

(1)標準式：

因此參數t幾何意義是|t|表示直線上的動點M到定點M0的距離．

③當點M與點M0重合時，t=0．

(2)一般式：

注這里參數t的幾何意義是

(1)當n≥0時，

解法一由上述公式可知，

解法二先化為普通方程，再化為標準式

點評只有能熟練地將一般式化為標準式，才能利用標準式中的參數t的幾何意義靈活的解決問題，通過兩種解法，加深學生對直線參數方程的標準式與一般式的互化的理解與應用.