經典頻現 溯源流遠
——2019年全國III卷第21題的探究

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四川省成都樹德中學 四川省成都市玉林中學

高考的硝煙剛剛散去,新的論戰(試題分析)已經開始,這場論戰的主題毫無疑問是核心素養導向下的試題賞析.高考中的解析幾何試題在保持平穩過渡的前提下重點考查了學生兩個方面的能力：一是核心素養的達成；二是學生的思維能力，即我們常說的“多想少算”.下面就依據《普通高中數學課程標準(2017年版)》[1]中提及的六大核心素養中的數學運算、直觀想象、邏輯推理來賞析一道解析幾何試題,不對之處敬請各位專家和同行批評指正.

1 試題及賞析

(1)證明：直線AB過定點；

視角一 數學運算

文[1]中指出：數學運算是指在明晰運算對象的基礎之上,依據運算法則解決數學問題的素養.解析幾何中常用的策略就是將問題情境中的幾何問題轉化為代數問題來解決.根據運算思路和運算對象的不同,我們用以下兩種思路來解決此問題.

思路探求1 本題在知識上主要考查拋物線的性質、直線與方程、直線與拋物線的位置關系；在思想方法上考查學生的化歸轉化、推理論證、數形結合、方程思想及數學運算素養的達成情況.分析題目可知,直線AB是切點所在的直線,只需找到切點的共同屬性即可.故可采用“設而不求”的思想就將該問題解決.

解法一 設而不求

由y′=x,所以切線DA的斜率為x1,

則DA的方程為2tx1-2y1+1=0.

設B(x2,y2),同理DB的方程為2tx2-2y2+1=0.

于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,

思路探求2 本題還可從尋找切點A、B及定直線入手,將直線AB用參數表示,借助海倫秦九韶公式將面積問題解決.

解法二 求切點定直線

可得x2-2kx+2kt+1=0

①

由△=0,可得k2-2kt-1=0

②

于是k1+k2=2t,k1k2=-1，

(2)設線段AB的中點坐標為T(x0,y0),則有

解得t=0或t=±1.

利用面積公式

同理可得S△EAB=|k1-k2|.

當t=0時,|k1-k2|=2,此時

賞析該題從所處的位置看“出乎其外”,從高考的改革層面講則是“入乎其內”,雖然以壓軸題出現,但并不難,主要考查通性通法以及思維的嚴謹性,這也體現了高考改革的方向.正如任子朝先生所言：中國高考正在實現從能力立意到素養導向的歷史性轉變.此處給出的這種方法是解決此類問題的通性通法,但注意不要漏掉斜率為0的情形.

視角二 直觀想象

文[1]中指出：直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數學問題的素養.幾何直觀是直觀想象素養的主要表現之一.解析幾何也屬于幾何的范疇,自然可以采用平面幾何描述代數問題，即將代數問題圖形化.

思路探求3 本題是阿基米德背景下解析幾何問題,有著豐富的幾何關系(后面拓展中會研究),一個自然的想法是看能否采用平面幾何的知識進行分析從而解決面積問題.

解法三 設直線定“待參”

圖1

設直線AB的方程設為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2)，

可得x2-2kx-2m=0，于是x1+x2=2k,x1x2=-2m.

由于y′=x,所以切線DA、DB的斜率分別為x1、x2.

所以切線DA、DB的方程分別為x1x=y+y1,x2x=y+y2，

記AB過的定點為F,則有AA1=AF,BB1=BF.

以下計算同方法二.

賞析數和形并不是孤立的,而是在一定條件下可以轉化的,著名數學家華羅庚先生曾生動的描繪了數和形的關系：“數形結合萬般好,隔離分家萬事休.”有的時候要引導學生用數和形“兩只眼睛”分析問題.解析幾何問題常用代數解釋,但是不要忘了有時將問題情境圖形化可以使問題變得通俗易懂,而且有利于養育學生的直觀想象素養.

2 溯源

此種類型的題可謂是高考的熱點,頻繁出現,比如2005年江西卷22題、2006年全國II卷21題、2007年江蘇理科第19題、2008年山東卷22題、江西21題、2013遼寧卷20題、2018年全國I卷以小題出現,在模擬題中更是屢見不鮮,比如2019年成都二診、2019河南模擬、、2018深圳模擬等等.不單如此,實際上這個題是以人教A版選修2-3第81頁B組第7題素材進行命制的,來源于教材又高于教材.

從高等數學來看,該題是以極點、極線為背景.

從數學史來看,本題中的△DAB是阿基米德三角形.有了這些背景認識,我們可以探究出許多與阿基米德有關的有趣性質.

3 試題拓展

解題只是核心素養養成過程中的一步,與解題相比更為重要的是解題之后得反思和再創造.波利亞在文[3]中說道：“數學問題的解決僅僅只是一半,更重要的是解題之后的回顧,如果沒有了反思,他們就錯過了解題的一個重要而有益的方面.”下面我們就從養育學生數學素養的角度對這道高考題進行探索、再加工.

一般化已知曲線C:x2=2py(p>0),F為拋物線的焦點,D為某一直線l上的動點,過D作C的兩條切線,切點分別為A、B,若T為線段AB的中點,F為直線AB與y軸的交點,則有以下結論成立.

結論1 直線AB的方程為(x1+x2)x-2py-x1x2=0.

證明略.

結論3DA、AB、DB的斜率成等差數列、A、D、B三點的橫坐標成等差數列.

結論4 線段FA、FD、FB的長度之間的關系為.

證明經過簡單計算即可得到上述結果.

結論6 △DAB的重心G滿足的方程為4x2-6py-x1x2=0.

證明略.

圖2

結論7 若P為拋物線弧AB上一點,拋物線在點P處的切線與直線DA、DB分別交與M、N兩點,則S△DMN∶S△PAB=1∶2.

所以S△DMN∶S△PAB=1∶2.

進一步思考橢圓和雙曲線中是否有類似的性質呢？答案是肯定的,請讀者自行探究.