對一道中考壓軸題的再探究

(郵編：230061) (郵編：230061)

安徽省合肥市廬陽區教研室 安徽省合肥市第四十五中學

每年的中考幾何壓軸題都是老師和學生們關注的焦點，中考幾何壓軸題綜合性強，考查的知識點多，圖形紛繁復雜、千變萬化，對學生們的思維能力和數學思想方法要求都比較高.學生在解題過程中往往因為辨析不出問題的本質，找不到解決問題的突破口而造成丟分.在中考幾何壓軸題的復習課教學中，老師要幫助學生學會分析問題的本質，抓住幾何圖形的變化規律，從本源出發，順藤摸瓜，通過變式探究，解決疑難問題.

下面以一道中考題為例，從一個簡單基本圖形入手，層層遞進，為讀者們剖析簡單圖形到復雜圖形的演變過程，希望對我們平時的幾何復習課教學有所啟發.

1 原題呈現

2016年安徽省中考數學第23題如下：

圖1

如圖1，A、B分別在射線OM、ON上，且∠MON為鈍角.現以線段OA、OB為斜邊向∠MON的外側作等腰直角三角形，分別是△OAP，△OBQ，點C、D、E分別是OA、OB、AB的中點.

(1)求證：△PCE≌△EDQ；

(2)延長PC，QD交于點R：

圖2

①如圖2，若∠MON=150°，求證：△ABR為等邊三角形；

圖3

②如圖3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON的大小和AB∶PQ的值.

本題綜合考查了相似、中位線、直角三角形的性質，考查圖形之間的變化及內在聯系，綜合性強，特別是圖形線條較多，關系復雜，學生們看不懂圖，讀不懂題.眼花繚亂的圖形讓學生們找不到解決問題的突破口，這也是失分的關鍵原因.

但真的沒有章法可循嗎？要想認識本題，我們先從一個基本圖形說起.

圖4

2 追根溯源

問題1 如圖4，△ABC中，AC=BC，過點A作AQ⊥BC于點Q，過點B作BP⊥AC于點P，E是AB的中點，連接PE、QE.求證：PE=QE.

證明因為BP⊥AC，所以∠APB=90°.在Rt△ABP中，

事實上，由于等腰三角形是軸對稱圖形，PE=QE是顯然的，不僅如此，根據對稱性，還能得到∠1=∠2.

上述關于線段長度和角度的關系是基于一類特殊的三角形——等腰三角形，于是可以作出大膽的猜想，在一般三角形中，此結論是否也成立呢？

圖5

問題2如圖5，△ABC中，過點A作AQ⊥BC于點Q，過點B作BP⊥AC于點P，E是AB的中點，連接PE、QE.求證：PE=QE，∠1=∠2.

證明與問題1證法同，得PE=QE.

在△AOP和△BOQ中，因為∠APO=∠BQO=90°,∠AOP=∠BOQ，所以∠1=∠2.

無論是在等腰三角形，還是一般三角形中，∠1=∠2這個結論都是成立的.現在換一個角度來分析這個問題，也就是說，若先假設∠1=∠2，那么PE=QE是否依然成立呢？

3 引申探究

依然從特殊的三角形——等腰三角形著手.

圖6

問題3 如圖6，△ABC中，AC=BC，O是△ABC內一點，且滿足∠1=∠2，過O點分別作AC、BC的垂線，垂足分別為點P、Q，E是AB的中點，連接PE、QE.求證：PE=QE.

由等腰三角形的軸對稱性，易得PE=QE.也可以借助全等三角形的相關知識加以證明.

探究之一

思考在一般的三角形中，結論PE=QE是否依然成立？

圖7

問題4 如圖7，△ABC中，O是△ABC內一點，且滿足∠1=∠2，過O點分別作AC、BC的垂線，垂足分別為點P、Q，E是AB的中點，連接PE、QE.求證：PE=QE.

證明分別取OA、OB的中點F、D，連接PF、EF、QD、ED.

所以四邊形ODEF是平行四邊形，從而∠OFE=∠ODE.

因為∠PFO=2∠1，∠ODQ=2∠2，∠1=∠2，所以∠PFO=∠ODQ，從而∠PFE=∠EDQ.

所以PF=ED,EF=QD，從而△PFE≌△EDQ，故PE=QE.

探究之二

思考圖中的∠PEQ與∠1、∠2有什么樣的數量關系.

實驗發現：

圖8

特殊情況1 當∠1=∠2=30°時，如圖8所示，運用幾何畫板，測量出∠PEQ=60°、即△PEQ是等邊三角形.

圖9

特殊情況2 當∠1=∠2=45°時，如圖9所示，運用幾何畫板，測量出∠PEQ=90°，即△PEQ是等腰直角三角形.

猜想∠PEQ=2∠1.

下面借助于圖9，給出詳細的證明過程.

證明因為∠PEQ=∠DEF-(∠PEF+∠QED)， ∠DEF=∠AFE，

所以∠PEQ=∠AFE-(∠PEF+∠QED)=∠AFE-(∠PEF+∠EPF)

=∠AFE-(180°-∠PFE)

=∠AFE-(180°-∠PFO-∠EFO)

=∠AFE+∠EFO-180°+∠PFO

=∠PFO=2∠1.

4 試題形成

圖10

在探究的過程中，我們發現，四邊形CPOQ對于結論的推導是沒有任何幫助的，在保證∠PAO=45°的基礎上，把線段CP、CQ隱藏，就得到了圖10所示的圖形.

圖11

如果把圖10繞點O進行旋轉得到圖11，也就是2016年安徽省中考題的第23題的圖1.在此基礎上增加一些條件，就可以得到這道中考題的后面兩個問題.2016年的安徽省中考第23題壓軸題也就產生了.

2016年安徽省中考第23題，第(1)問證明兩個三角形全等，學生找兩條等邊并不困難，難點在于如何找一對等角，而文中借助圖9的探究之二證明的∠PEQ=2∠1的解題思路和第(1)問找等角，以及第(3)問求∠MON的度數，過程與方法是完全一致的.也就是說，如果我們在平時的課堂教學中，能重視基本圖形的教學，引導學生注重圖形之間的變化，那么這道壓軸題解決起來就會輕松很多.

5 幾點思考

關于中考前壓軸類習題的教學，有以下幾點需要老師們關注.

(1)關注學生們的最近思維發展區

“最近發展區”這一概念是由前蘇聯教育家維果茨基提出的，它指的是現有水平和潛在發展水平之間的幅度，也叫做“教學的最佳期”.“最近發展區”的“最近”是基點，“發展”是目標．維果茨基認為至少可以確定學生有兩個發展水平：第一個是現有發展水平，是由已經完成的發展程序的結果形成的心理機能的發展水平，表現為學生能獨立地、自如地完成教師提出的智力任務；第二個是潛在發展水平，是那些尚處于形成狀態，表現為學生還不能獨立地完成任務，但在教師幫助下，在集體活動中，通過訓練和自己的努力才能完成的智力任務.在課堂教學活動中，關注學生思維最近發展區，就是在學生最需要的時候給予指點、鼓勵和幫助，從學生已有的知識儲備出發，通過教師合理的引導、指導，尊重知識的形成過程，通過觀察、猜想、驗證、證明等思維過程獲取知識與能力，進而形成思想與方法.這也是以人為本教育理念的核心內容.

(2)注重學生數學活動經驗的獲得

這里所說及的經驗是指學生們把現實生活中的問題抽象轉化成數學問題的過程中，所經歷的觀察、實驗、歸納、類比、猜想、驗證、推理證明等方法，進而形成的抽象概括的能力，也包括在解決某些數學問題中發現問題、提出問題、分析并解決問題的數學素養.在處理某些一般性的結論時，往往先把問題特殊化，在特殊狀態下去尋找某些結論，獲得一些經驗，再在一般狀態下去思考特殊狀態下的結論是否仍然成立.本文分析的2016安徽省中考第23題的研究過程就是反復運用了特殊到一般的研究思路.

(3)學會研究動態問題中某些內在的規律

圖形的變化紛繁復雜，點的運動、線的運動亦或是圖形的運動，勢必造成線段的長短變化、角度的大小變化、乃至圖形的形狀、位置等發生變化.在這些變化過程中有可能有某些亙古不變的內在規律，我們要帶領學生們學會發現這些規律、研究這些規律、提出合理的觀點與結論，進而推導證明這些結論與規律，這也既是數學教育的核心素養所在，也是幾何教學的魅力所在.

波利亞曾說過：“解題的成功，要靠正確地轉化.”教師在教學中要不斷引導學生進行解題回顧與反思，幫助學生梳理、提煉基本圖形，遇到問題時分離出基本圖形，基本圖形殘缺時，構造基本圖形，這樣可以以這些基本圖形為載體，培養學生的識圖能力、分析推理能力. 實踐證明：它是一種非常重要的，而且是行之有效的方法. 可以說：一張基本圖形勝似千言萬語！