講題講什么
——由怎么做到怎么想

(郵編：225721)

江蘇省興化市戴澤初級(jí)中學(xué)

1 緣起

圖1

題1 已知：如圖1，△ABC中，D、E是BC上的點(diǎn)，滿足BD=CE，AD=AE，∠1=∠2,試找出圖中全等三角形，并說明理由.

師：請(qǐng)大家根據(jù)條件找出圖中全等三角形，并說明理由.

生1：△ABD≌△ACE.由∠1=∠2，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等，可得∠ADB=∠AEC,又BD=CE，AD=AE，可得△ABD≌△ACE(SAS).

生2：△ADC≌△AEB，由BD=CE，可得BD+DE=CE+DE，即BE=CD，又∠1=∠2，AD=AE，可得△ADC≌△AEB(SAS).

師：很好，大家都聽懂了嗎？好，看下一題.

這是筆者聽到的師生解決問題時(shí)的一段對(duì)話，學(xué)生回答很正確，說理過程嚴(yán)謹(jǐn)，教師也給予積極評(píng)價(jià)，似乎很完美了.但學(xué)生在講題過程中都在講這道題怎么做，即問題的解決過程，沒有怎么想的，即問題的分析過程.教師只評(píng)價(jià)對(duì)錯(cuò)，象征性地了解其他學(xué)生是否聽懂，這就是目前普遍存在的只講“怎么做”不講“怎么想”的典型案例，那么這兩者有何區(qū)別呢？會(huì)講“怎么做”應(yīng)該表明學(xué)生會(huì)做這道題了，但是缺少解題思路的分析，比如依據(jù)什么線索進(jìn)行思考：怎么想到由∠1=∠2得，∠ADB=∠AEC，由BD=CE，得BE=CD，有沒有其他全等三角形等等.而從聽眾角度分析，學(xué)生只聽到“怎么做”，他們能理解其中的道理嗎？今后可以解決類似問題嗎？他們的收獲有哪些？一切都不得而知!

講“怎么做”是告訴聽眾要先這么做、再那么做，這與讀參考答案有何區(qū)別！無論是講題人還是聽講人都缺乏問題的分析過程和思維的發(fā)展過程，以致教學(xué)效果大打折扣.因此，在學(xué)生講題，也包括教師講題時(shí)，要從講“怎么做”到講“怎么想”，從關(guān)注解題過程到關(guān)注思維過程，揭示思維發(fā)生和發(fā)展的過程，促進(jìn)對(duì)問題的深度思考.

2 有效追問，激發(fā)“怎么想”的意識(shí)

追問即追著問，在原有問題之后根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)一步針對(duì)性提問，促進(jìn)深層次思考[1].當(dāng)學(xué)生只講解題過程時(shí)，教師可以根據(jù)學(xué)生所講內(nèi)容進(jìn)行追問，如“你是怎么想的”“哪些條件啟發(fā)你這樣做”“怎樣啟發(fā)別人也這樣做”等，激發(fā)學(xué)生有條理思考問題的意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注方法的生成過程，會(huì)解釋方法的合理性.

比如在學(xué)生回答題1后，教師應(yīng)追問“你是怎么想到這兩個(gè)三角形全等的”“怎么想到證∠ADB=∠AEC和BE=CD”，引導(dǎo)學(xué)生從圖形直觀和條件分析的角度進(jìn)行思考.比如“由BD=CE，AD=AE分別在△ABD和△ACE中，猜想△ABD和△ACE全等，但是還缺一個(gè)條件，已知∠1=∠2，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等，可得∠ADB=∠AEC，所以兩三角形全等可證”，“由∠1=∠2，AD=AE分別在△ADC和△AEB中，但是還缺一個(gè)條件，已有BD=CE，可得BE=CD，所以全等可證”.像這樣，通過追問，引導(dǎo)學(xué)生細(xì)化找全等、證全等的過程，可加深全等SAS方法的綜合運(yùn)用.

3 強(qiáng)化分析，指導(dǎo)“怎么想”的方法

數(shù)學(xué)家喬治·波利亞認(rèn)為解題分析有四步驟：①弄清題意；②擬定計(jì)劃；③實(shí)行計(jì)劃；④回顧.只講“怎么做”無疑是跳過第①、②步，直接到第③步.其實(shí)弄清題意是解題的重要基礎(chǔ)，也就是明確條件是什么，由條件能得到什么結(jié)論，條件之間是否產(chǎn)生什么新結(jié)論，問題是什么，需要什么條件，與已有條件之間有什么聯(lián)系等.教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)分析問題的方法，建構(gòu)思考問題的策略.

3.1 想已知條件，由因執(zhí)果，培養(yǎng)遞進(jìn)思維

條件是解決問題的線索，要重視條件的分析過程，引導(dǎo)學(xué)生理清有哪些條件，可得到哪些結(jié)論，逐漸逼近問題核心，使思維合理有據(jù)，解法自然生成.

圖2

A. 6 B. 5 C. 4.8 D. 4

圖3

思路1 如圖3，由平行得△DEI∽△ABC，可用相似性質(zhì)中周長(zhǎng)比等于相似比，求出DI即可.由內(nèi)心想內(nèi)切圓，求出半徑為1，在△DBH中求出DH就可以求出DI.

圖4

思路2 如圖4，與思路1類似，換一個(gè)角度求出DI.

思路3 如圖5，與思路1類似，由相似性質(zhì)中周長(zhǎng)比等于對(duì)應(yīng)邊上高的比，求出CM即可.

圖5

思路4 如圖6，由內(nèi)心想角平分線，加上直線平行，聯(lián)想基本圖形——平行+平分，可得兩個(gè)等腰三角形，則△DEI的周長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng).

圖6

像這樣，只有讓學(xué)生講出分析條件的過程，才能加深對(duì)條件的多種理解，促進(jìn)在聯(lián)想中發(fā)現(xiàn)不同思路，在對(duì)比中辨別方法優(yōu)劣.聽眾自然也經(jīng)歷了思考問題的全過程，感受由條件出發(fā)進(jìn)行聯(lián)想，嘗試有條理地分析與表達(dá)，順應(yīng)思維的發(fā)展方向.

3.2 想問題解決，由果索因，培養(yǎng)逆向思維

從問題出發(fā)就是運(yùn)用逆向思維，頗有點(diǎn)“反其道而思之”的意思， “李白打酒”是一個(gè)典型問題：李白街上走，提壺去打酒；遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒.試問酒壺中，原有多少酒？從正向思考，無疑需要列出較復(fù)雜的方程，但是從“喝光酒”思考，即壺中酒量為0往回推，問題隨之輕松解決.

3.3 想因果聯(lián)系，綜合分析，培養(yǎng)整體思維

分析題目應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確找出條件和問題，充分挖掘條件的作用，分析條件能帶來的結(jié)論，同時(shí)要分析解決問題需要什么條件，強(qiáng)化條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，整合雙向資源，從而解決問題.

圖7

圖8

生：老師可以幫我講一下這道題嗎？題目條件多，沒有思路.

師：我們一起來分析，從條件展開聯(lián)想.

師：?jiǎn)栴}是“求k的值”，需要什么條件？

生：啊，這么簡(jiǎn)單啊，我會(huì)了，就是要分析條件中每一句話，找出條件與問題之間的聯(lián)系啊！

像這樣，并沒有特殊的解題方法，只是充分挖掘條件和問題的內(nèi)在聯(lián)系，讓思維層層遞進(jìn)，猶如剝洋蔥般逐漸呈現(xiàn)真相，發(fā)現(xiàn)解決問題的方法.

4 重視積累，夯實(shí)“怎么想”的基礎(chǔ)

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：學(xué)習(xí)是引導(dǎo)學(xué)生從原有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，生長(zhǎng)(建構(gòu))起新的經(jīng)驗(yàn)[2].已有經(jīng)驗(yàn)是“怎么想”的基礎(chǔ)，它是數(shù)學(xué)活動(dòng)重要的知識(shí)儲(chǔ)備、方法來源、思想載體，只有具備一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，才能實(shí)現(xiàn)問題與已有經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系、整合、重組和優(yōu)化.

圖9

師：剛才大家分析得都很好，求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是一個(gè)難點(diǎn)，請(qǐng)大家先獨(dú)立思考5分鐘，然后組內(nèi)交流.

師：兩位同學(xué)都發(fā)表自己的做法，就是用方程組求交點(diǎn)坐標(biāo).

圖10

師：說得真好，生3創(chuàng)造性地從圖形相似角度思考，方法簡(jiǎn)單易懂，尤其是思路清晰，講出自己思考的過程，為你點(diǎn)贊！

本題中，學(xué)生將當(dāng)前問題和已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行聯(lián)想，如不等式與函數(shù)關(guān)系，交點(diǎn)坐標(biāo)的代數(shù)解法、函數(shù)平移變化性質(zhì)、相似三角形判定與性質(zhì)等，教師要引導(dǎo)學(xué)生積累解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，如代數(shù)中常見的式結(jié)構(gòu)：乘法公式、方程模型、函數(shù)模型等，也可以是圖形中的形結(jié)構(gòu)：三角形基本變換、特殊四邊形、圓中基本圖形、函數(shù)與圖形結(jié)合等.

5 重視交流展示，增強(qiáng)“怎么想”的動(dòng)力

學(xué)生講題的本質(zhì)是師生交往互動(dòng)的過程，應(yīng)是主動(dòng)活潑、富有個(gè)性的過程.教師應(yīng)搭建學(xué)生交流展示的平臺(tái)，對(duì)學(xué)生在講題過程中的表現(xiàn)給與積極評(píng)價(jià)，讓學(xué)生樂學(xué)、善講、勤思，享受講題成功的樂趣，增強(qiáng)思維發(fā)展的動(dòng)力.

圖11

題5 (2018 泰州)如圖11，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(9，6)，AB⊥y軸，垂足為B，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P與點(diǎn)Q的速度之比為1∶2，則下列說法正確的是( )

A．線段PQ始終經(jīng)過點(diǎn)(2，3)

B．線段PQ始終經(jīng)過點(diǎn)(3，2)

C．線段PQ始終經(jīng)過點(diǎn)(2，2)

D．線段PQ不可能始終經(jīng)過某一定點(diǎn)

師：請(qǐng)大家積極思考，有想法請(qǐng)說出來.

生1：點(diǎn)P、Q都在運(yùn)動(dòng)，是否可以表示出直線表達(dá)式？

生3：我來試試，去分母得(y-2)t=3y-2x，變形為(t-3)y=-2x+2t,要想過定點(diǎn)就是與t值無關(guān)，則t的系數(shù)為0，當(dāng)y=2時(shí)，x=3,過定點(diǎn)(3,2).

師：講得很好，用直線表達(dá)式求定點(diǎn)，但是運(yùn)算量大了點(diǎn)，是不是有更簡(jiǎn)便的方法，誰能幫幫我？

圖12

生4：我還有一個(gè)更好的方法.

師：真的嗎？請(qǐng)你到講臺(tái)前告訴大家的想法.

其實(shí)，預(yù)設(shè)的方法就是求直線表達(dá)式，但是運(yùn)算量大，不夠簡(jiǎn)便，通過老師的“示弱”，有效激發(fā)學(xué)生思考的熱情，促進(jìn)學(xué)生借助圖形深入思考，敏銳發(fā)現(xiàn)OP=2AQ比值不變聯(lián)想到相似，從圖形角度創(chuàng)新解決問題.

6 結(jié)語

“怎么做”與“怎么想”之間并無矛盾，并不是講“怎么做”就不好，寫此文的初心是為強(qiáng)化講題時(shí)對(duì)思路的分析，強(qiáng)化對(duì)問題的深度思考，促進(jìn)講題人和聽講人思維的碰撞，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)解決問題的策略方法，消除機(jī)械模仿、缺乏理性思考的弊端.如果上升到培養(yǎng)人的角度，我們既需要行動(dòng)的執(zhí)行者，更需要行動(dòng)的策劃者、組織者，思想是行動(dòng)的先導(dǎo)，思想是行動(dòng)的指南，獨(dú)立思考、精準(zhǔn)表達(dá)應(yīng)是現(xiàn)代人的良好品質(zhì)！