素養視域下數學能力的考查
——2019年全國高考數學(理科Ⅰ卷)部分試題分析

(郵編：237331)

安徽省金寨第一中學 六安市徐道奎名師工作室

2019年全國高考數學(理科Ⅰ卷)試題的學科特色突出，素養導向明確，對素養視域下數學能力的考查較為全面.試題有以下特點：對必備關鍵能力的要求更強，對創新能力的要求更強，對應用能力的要求更強.注重考查學生的探究實踐能力，發現、提出、分析和解決問題的能力，適應新情境以及在新情境中獲取信息能力，閱讀理解能力，遷移聯想能力，對數學符號語言的理解轉化能力，邏輯思維和思維轉化能力等等，融綜合性、應用性、創新性于一體，注重數學文化與數學教育的高度融合.實現了“從能力立意到素養導向”的轉化，本文僅以學生普遍反響較為強烈的幾個問題為例予以分析.

1 全方位的能力考查

1.1 數學需要探究和實踐，要有在探究中發現問題的能力

素養視域下的探究發現是一種主動、自覺的活動，是一種習慣、意識的使然，是自主發現、提出、分析和解決問題的行動過程.

題1 (第12題)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E、F分別是PA、AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為

解決數學問題需要主動的觀察、分析、嘗試，這就是探究，探究沒有固定的模式.探究活動要以關鍵條件切入，以條件如何運用找到契機，如：作出三棱錐的高，在此基礎上嘗試、摸索.探究是感知、發現隱含信息的基本方法.探究過程需要不斷地遷移聯想，不斷地提出問題，條件有什么用？為什么要給“這個”條件？條件能否轉化？轉化后又可發現什么，得出什么？回到本題，立體幾何中的“垂直關系”非常重要，是否隱含其它的垂直關系？具體地，能否通過“中點”、∠CEF=90°和PA=PB=PC得出新的“垂直關系”？怎樣得出？

學生解題的障礙是：習慣于思路明了、直覺就能做出判斷的問題，對于條件和關系隱含的問題“無從下手”，缺乏探究經驗，不知道運用條件深入分析，發散思維，不能夠遷移聯想，比較分析.當然，探究發現不是“無中生有”，不是“空中樓閣”，而是建立在一定的基礎知識、基本能力、基本思想和基本活動經驗之上的數學活動.

1.2 數學需要適應情境，要有在新情境中分析問題的能力

高考要體現時代精神，要創新，要與時俱進，跟上時代潮流，“對創新意識的考查是對高層次理性思維的考查”，“在考試中創設新穎的問題情境，構造有一定深度和廣度的數學問題”是今后考查的方向，毫無疑問，素養視域下的能力考查，更需關注創新能力、創新意識和創新精神，而新情境、新背景是考查創新能力的重要載體，在新情境中用數學解決實際問題是數學價值的體現.

題2 (第21題)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別為α和β，一輪試驗中甲藥的得分為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…，7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假設α=0.5，β=0.8.

(ⅰ)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,…,7)為等比數列；

(ⅱ)求p4，并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性.

題目具備創新能力考查的三個特點：新的角度，新的情境，新的知識組合方式.對于具有實際意義的情境問題，如何把實際問題數學化？需要進行數學抽象，分析問題中的關鍵要素，建立數學模型.

第一問：求一輪試驗中甲藥得分的分布列，根據題目設置和約定，容易分析甲藥在一輪試驗中得分有三種的可能，即：-1、0、1，概率分別是：(1-α)β、αβ+(1-α)(1-β)、α(1-β).

平心而論，本題并沒有學生反應的那么難，但學生為什么怕？第一，不能適應新情境，不能理解新情境.情境是廣義的概念，包括自然情境，實踐情境，學術情境等等.情境陌生，融入不了.不明白題目要表述的是什么事？第二，缺乏在新情境中閱讀、獲取信息的能力，很多學生根本讀不懂題目，不理解題目表述的方法去對比藥效.第三，也是最關鍵的，對數學學科語言的理解轉化存在障礙，數學符號語言不能“翻譯”為通俗的自然語言，如：怎樣用隨機變量表示試驗結果？“pi(i=0,1,…,8)表示甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效的概率”是什么含義？pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…7)有什么作用？第四，缺乏把實際問題抽象為數學問題的基本素養，缺乏靈活運用數學知識的能力.如：第二問實際上就是一般的數列問題，構造法證明等比數列和累加法求數列通項問題，情境(學術情境)變化了(不在單一的數列問題里面)，就無所適從.

素養視域下的數學考查將逐漸從“學科知識化”轉變為“真實情境化”，因此，適應、理解新情境至關重要，呆板、機械、僵化的知識將無用武之地.“情境化”不是“去數學化”，而恰恰更能發揮其應用價值、實踐價值和社會價值.所以，我們要強調培養學生適應新情境，在情境中分析問題的能力，培養情境中的問題意識和靈活、綜合解決問題的基本素養.

1.3 數學需要科學的思維，要有在不斷推理轉化中解決問題的能力

對邏輯思維能力的考查貫穿于整個試卷的始終.數學是思維的體操，是思維的科學，解決數學問題離不開科學的思維，離不開邏輯推理和抽象概括.數學問題的解決需要不斷地把條件、結論進行分解組合，變式轉化，這就是數學推理，當然，主要是邏輯推理.

題3 (第20題)已知函數f(x)=sinx-ln(1+x)，f′(x)為f(x)的導數.證明：

(2)f(x)有且僅有2個零點.

分析(1) 求f′(x)的極大值點，實際上只要分析f′(x)的導數f″(x)的變號零點，可通過對f″(x)再求導，證明f″(x)單調，結合零點存在定理得出.

(3)f(x)的零點可按照f″(x)→f′(x)→f(x)路徑分析，思維不斷地進行轉化，直至得出結論.推理要鍥而不舍、嚴密周全，從二階導數的單調性、二階導數的正負，到一階導數的單調性、一階導數的正負，到原函數的單調性、零點，一步一步的分析.

學生解題的障礙是：缺乏思維的條理性，由高階導數逐步分析原函數的思路不清，目標不明確.

素養視域下的思維能力既是一種能力，也是一種品質，更反映了一種嚴肅的科學態度和科學精神.

1.4 數學需要學科貫通和領域融合，要有在文化背景下進行數學抽象的能力

高考是綜合能力素養的考查，全國一卷試題充分體現了數學的科學價值和人文價值和社會價值.

題4 (第4題，試題略)把數學美、藝術美和數學運用充分結合起來，把實際問題抽象為數學問題，雖然不是難題，也容易出錯，問題出在是否理解生理學意義“腿長”的定義，跨學科的知識對問題解決非常重要.素養視域下的能力考查，要適應“試題條件從結構良好到結構不良”，“試題要素從單一因素到復合因素”的變化，要學會批判、判斷、選擇和分析.

數學在體育中運用也非常廣泛，第15題是涉及體育比賽規則的概率問題.

題6 (第15題)甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時，該對獲勝，決賽結束)，根據前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以4:1獲勝的概率是______.

問題抽象為獨立事件同時發生的概率.首先要充分理解題目，如：比賽的規則，要根據題目的表述結合實際理解，注意主客場獲勝概率的不同，甲4∶1獲勝的含義.有的學生沒有理解比賽的規則，把4∶1取勝理解為5場比賽勝4場，發生錯誤.

素養導向的能力考查要求學生關注生產生活，關注社會，有寬廣的知識面，能把實際問題抽象為數學問題，能以科學的方法和數學原理解決實際問題.

2 新高考對教學的啟示

高考是教學的風向標，考試制度的改革對數學教學提出了新的要求.高考命題整體質量高，要充分發揮高考試題的教學導向作用，要透過高考考試風格和考試方向反思教學的不足，積極彌補和改進.

(1)有基礎才能有潛能，提升能力素養的前提是扎實教學，夯實基礎，因此，必備的基礎知識必須加寬加厚，要全面而有深度地理解掌握基礎知識.教學要回歸概念，回歸基礎，整體把握數學學科體系，建立知識網絡體系.

(2)不能依靠刷題來提高學生成績.要讓學生在理解數學、掌握原理的基礎上獲得“四基”，提高“四能”，以不變應萬變.學生在解答本套試題中暴露很多問題，為什么能計算復數卻不理解復數的概念(第2題)，會用參數的意義解題而不會消參(第22題)，能解情境熟悉的“難題”，卻不能解情境陌生的簡單問題(第4、6、15、21題)，是長期單一訓練，機械做題，思維固化的結果.

(3)要認真研究課標，研究教材.2019年數學試題逐步由“實驗版課標”向“2017版課標”過渡，放棄了三視圖、線性規劃的考查，有一定的道理.尤其三視圖，從數學角度分析，其反映學生空間想象力作用并不明顯，在備課組討論時我們把該問題提出，但老師們不敢輕易放棄，平時練習和考試中的三視圖問題偏、怪、難，意義不大，浪費了時間.當然，并不是今年不考的，將來不考，筆者只是強調要注意研究課標，注意課標的變化.

(4)注意素養視域下能力考查的變化，尤其是探究能力的考查，多引導學生解決開放型、組合型問題.注意情境的變化，提出問題方式的變化，考查目的變化.樹立正確的教學觀，要在培養學生自主學習能力(包括閱讀理解能力)上下功夫.數學教學要重視學科觀念，觸及數學本質，追求有深度的教學，滲透數學思想，融入數學文化，堅持以人為本，立德樹人，注重培養創新精神、創新意識和創新能力，養成科學的思維品質和思維習慣，在數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等方面培養學生的關鍵能力.

3 關于命題的幾點思考

(1)數學文化包羅萬象，數學概念的形成，數學思想方法的提煉，數學精神，數學美學，數學發展的曲折歷程，數學家不屈不撓、孜孜以求、敢為人先的思維方法、探索歷程和創新精神，中西方數學思想方法的差異等，都是數學文化.數學文化素材的選擇要凸顯數學歷史發展的成果和過程，要積極向上，涉及的范圍可以更廣.

(3)概率或以概率為背景的試題(第6、15、21題)出現多次，雖說考查的內容不同，但是否有比重失調之嫌呢？基于高考選拔功能，函數及其性質(或者考查函數方程思想的試題)是否可以加大份額？

上述分析僅一孔之見，不足之處敬請專家同行批評指正.