例談構造法在解題中的應用

金東明

摘 要?構造法解題是一種富有創造性的思維方法，它相當好地體現了數學中、發現、類比、聯想轉化的思想。

關鍵詞?類比;聯想;送向;轉化;構造

中圖分類號：O421+.4，O629.11+3，H122 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）01-！！PageNum！！-01

用構造法來解數學問題，其方法獨特，妙趣橫生。本文為大家介紹幾種常見的構造方法。

一、類比構造：由于問題中研究對象有著形式上，本質上的相同或相似，啟發我們構造類似的數學形式，運用新數學形式的豐富內涵達到解決問題的目的。

例1：設實數a、b、c滿足關系式

②

②

分析：①式右邊的式子與②左邊的形式完全相同，由此啟發我們構造更一般的數學形式。

解：設函數，;均有且

在R上是遞增的奇函數;由條件知;即，則

二、聯想構造：聯想是由一事物及另一事物的思維方式的過程，這種聯想通常是事物的形式，結構、范圍、關系等因素作用的結果，由聯想而引發生的構造稱之為聯想構造。

例2：證明，其中

分析：已知條件及聯想到向量的模及數量積的有關公式;故構造向量，利用向量數量積和模的有關定義解題

證明：設，，與的夾角為，

，，所以

即：

三、逆向構造：逆向構造是指按逆向思維方式，向原有數學形式的方向去探求，通過構造與結論有關的數學式子來解決問題。

例3若函數滿足，則當a>0時，與之間大小關系為

A.;B.;C.?;D.與a有關，

B.分析：從條件看，本題似無從下手，此時可按逆用思維，從選支入手要比較的大小，只需比較與的大小，構造函數，只需比較與的大小，而a>0，則只需考慮的單調性，問題迎刃而解。

解：令，則

＼F（x）在R上單調遞增，a>0＼F（a）>F（0）即;故選B

四、歸納構造：對于與n有關的問題，不容易直接構造出，我們可以具體的特殊f?（1），f?（2），f?（3）的進而推廣到一般的f?（n）.

例4平面內有n個兩兩相交的圓，并且任三個圓不經過同一點，試問這n個圓把平面分成多少個區域？分析直接求n個圓把平面分成多少個區域比較難，故通過特殊情況歸納一般情況。

解：當n=1時，即一個圓把平面分成2個部分，即f?（1）=2，當n=2時，第二個圓被第一圓分成的段弧，每段弧將第一個圓的每個區域分為兩個區域，即f（2）=f（1）+2，設n-1個圓將平面分成f（n-1）個部分，則再增加一個圓，這第n個圓與原來的n-1個圓中的每一個圓都有兩個交點，一共有2（n-1）個交點，把第n個圓分為2（n-1）段弧，而每段弧將原來的一個區域分為兩個區域，一共增加了2（n-1）個區域，即f?（n）= f?（n-1）+2（n-1），f?（2）=f?（1）+2×1，f?（3）=f?（2）+2×2，f?（4）= f?（3）+2×3，…f?（n）=f?（n-1）+2（n-1）， 將以上各式相加得

f?（n）=f（1）+2[1+2+…（n-1）]=n²-n+2

因為構造法常常需要由此及彼的聯想能力，有縱橫馳騁的貫徹能力，有改頭換面的創造能力，所以平時訓練時要將獲得的構造能力不斷“內化”到自己認知結構中，使構造成為一種“本能”就能將例題建立在較高水平上。