從問題討論走向教學研究
——方向角和方位角的是非曲直

☉甘肅省山丹縣山丹育才中學 脫文林

一、問題聚焦

圖1

近日，在張掖市初中數學教師的一個微信交流平臺有過下面一段討論：

例1（人教版初一數學）在如圖1所示的方位角中，射線OA表示的方向是（ ）.

A.東偏南30° B.南偏東60°

C.西偏南30° D.南偏西60°

TeacherZhang：大家幫忙看下這道題的A、B選項.

TeacherYu：南偏東60度.

TeacherHua：南偏東60度，地理位置以正北、正南為基準！小學六年級時選A、B都對！

TeacherChao：標有30度角，顯然A最合適，六年級時學的，當然在多選題中B也正確.

TeacherFen：@TeacherZhang這個問題的表述首先不嚴謹，方向角與方位角是兩個概念，這應該是針對方向角的.現行教材中小學與中學脫節，小學要求低，A的說法也對，只要學生能清楚描述一個方向就行，但A的描述不規范，我支持TeacherHua的意見.

TeacherLin：方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成北（南）偏東（西）×××度.方位角指從標準方向的北端起，順時針方向到直線的水平角稱為該直線的方位角，方位角的取值范圍為0°～360°.

在中小學數學教學中，多數教師認為“方向角”和“方位角”是一回事，即平面內用方向來表示目標相對于參照點的位置.隨著討論深入，大家的思路從問題解析走向概念辨析，解釋了方向角、方位角的不同，討論還在繼續.方向角與方位角之間的關系到底是什么？為什么小學與中學對“表示方向”的表述不同？為什么中學教材在方向角與方位角問題上閃爍其詞？這些問題都有必要思考和考證.

二、權威考證

《中學幾何辭典》中的解釋：

方向角：指北或南方向與目標方向線所構成的小于90°的水平角.

方位角：從某點的指北方向按順時針轉到目標方向的水平角.

《簡明數學辭典》中的解釋，引自笛卡兒《更好地指導推理和尋求科學真理的方法論》：

方向角：平面直線的方向角是指該直線與x軸正方向所構成的最小正角或零.空間直線的方向角是指該直線與三個坐標軸正方向所構成的正角.如果沒有指定空間直線的方向，則有兩組方向角，分別對應直線的兩個不同指向.

方位角：一條直線或一個天體所在的垂直平面與子午面之間的夾角.

“科普中國”科學百科詞條，引自《數學辭海》第1卷（南京：東南大學出版社，2002）：

方向角【directionangle】，指的是采用某坐標軸方向作為標準方向所確定的方位角.方向角是從正北或正南方向到目標方向所形成的小于90°的角.通常表達成北（南）偏東（西）××度，若正好為45度，則表示為東南（北）方向或西南（北）方向.

方位角又稱地平經度【Azimuth（angle），縮寫是Az】，是在平面上量度物體之間的角度差的方法之一.是從某點的指北方向線起，依順時針方向到目標方向線之間的水平夾角.由于每點都有真北、磁北和坐標縱線北三種不同的指北方向線，因此，從某點到某一目標，就有三種不同方位角，真方位角，磁方位角，坐標方位角.

三、明晰關系

通過考證，“方向角”和“方位角”都是在參照點的基礎上，用基準線與目標線的夾角描述平面位置的方法，但它們描述的方法不同，是兩個不同的數學概念.方向角乃一平面角，系一直線與南或北方向線所夾的銳角，是用來標出兩點方位的方法之一.與方位角不同者，方向角系分由南、北起算，角度值在0°至90°之間，方向角之表示方式乃是在角度值之前冠以南、北字樣，其后則書出東、西字樣.方位角指從標準方向的北端起，順時針方向轉到直線的水平角，它的取值范圍為0°～360°.

四、小學教材教錯了嗎？

學生對圖形與位置的認知，起始于三年級下冊第一單元位置與方向（一），要求學生結合具體情境，給定四個方向中的一個方向，能辨認其余三個方向，知道東北、西北、東南、西南四個方向，能看懂簡單的平面圖，初步形成辨認方向、表達與交流物體所在方向的能力.六年級上冊第二單元位置與方向（二），提高了要求，能根據物體相對于參照點的方向和距離確定其位置，會描述簡單的路線圖，學會通過方向和距離表示平面位置的方法，初步感受坐標法的思想.

三年級下冊位置與方向（一）

圖2

六年級上冊位置與方向（二）

圖3

課標的要求、教材的編寫，讓我們感受到了伴隨學生的成長，“知識呈現螺旋式上升”的顯著特點.小學低段能辨認東、西、南、北、東北、西北、東南、西南八個方向，小學高段能根據任意物體相對于參照點的方向和距離確定其位置，在上圖人教版六年級上冊教材給出了“東偏南30°”的表述，同一方向在七年級教材中被規定描述為“南偏東60°”，并且強調“以正北、正南為基準，描述物體運動方向”，那么小學教材寫錯了嗎？

我們的教學活動必須從學生的認知特點出發，小學生的數學思維以形象思維為主，到了初中階段開始向抽象思維過渡，小學與中學因學生認知水平不同，教學要求也就不同，小學強調學生能直觀、準確描述一個方向就行，不必過于計較“東偏南30°”與“南偏東60°”.但到了中學階段，對方向角的描述要符合學科表達規范，強調了“以正北、正南方向為基準”，這不是嚴格意義上的知識矛盾，是隨著學生認知發展知識逐步完備的過程.

五、初中教材之體現

人教版教材七年級上冊第四章“幾何圖形”中4.3.3“余角與補角”一節內容的編排中，涉及方向角的內容僅為一個例題，如下：

例2 如圖4，貨輪O在航行過程中，發現燈塔A在它南偏東60°方向上.同時在它北偏東40°、南偏西10°、西北（即北偏西45°）方向上分別發現了客輪B、貨輪C和海島D.依照表示燈塔方位的方法，畫出表示客輪B、貨輪C和海島D方向的射線.

圖4

圖5

本題旨在進一步滲透極坐標思想.七年級下冊第十一章“平面直角坐標系”中7.2.1“用坐標表示地理位置”一節內容強調“一般地，可以建立平面直角坐標系，用坐標表示地理位置.此外，還可以用方向和距離表示平面內物體的位置.”《義務教育數學課程標準（2011年版）》對初中階段圖形與坐標的具體要求是：結合豐富的實例進一步體會用有序數對可以表示物體的位置，在實際問題中，能建立適當的坐標系，描述物體的位置.可見，方向角在淡出初中階段確定位置的學習，由于平面直角坐標系的引入，初中教學更著重于用坐標表示地理位置.

人教版初中數學教材中始終沒有“方向角”的說法，但2004年6月第一版七年級上冊教材，提到了“表示方向的角（方位角）”，后來2012年6月第一版又刪除了“方位角”的字樣，教材前后的這種細微變化，從有“方位角”一說到今天的忽略，是回避方向角與方位角之爭？還是暗示方向角與方位角本質上的相容相通？

2004年6月第一版

圖6

2012年6月第一版

圖7

“科普中國”科學百科對“方向角”的解釋“指的是采用某坐標軸方向作為標準方向所確定的方位角”，充分說明了方向角與方位角的從屬關系.方向角與方位角的爭與不爭，爭在于概念的清晰界定、規范的數學表達，不爭在于概念的發展演變過程、使用范圍及其本質的關聯.教材不經意的回避，意在淡化概念，指向“不必過分追究”，實則引發更加激烈的爭論，這一點應該是教材編者沒有充分預料到的.

六.百家之言

通過微信平臺的討論，方向角和方位角的是非曲直大家已了然于心，平臺上教師們的討論仍在繼續，更具個性化的思考展現了教師們從問題探討到教學研究后獲得的愉悅感.

TeacherHong：方向角以正東、南、西、北方向為基準，偏的度數小于45°度，對學生來說更有方向感.比如，如“東偏北20°”，比“北偏東70°”更恰當，都70°了還偏，似乎偏太多了.

TeacherKai：如果只說方位，不說方位角，就避免這樣的問題了！

TeacherFen：伴隨學生認知發展，知識體系逐步完整，我們從學生知識體系看，也能發現一些教材前后要求不同的端倪.小學階段學生對余角與補角的認識停留在感知層次，因此有了“東偏南”等直觀解釋，七年級對這一點進行了規范要求.

TeacherChen：小學學習主要是從認知開始，教材的編寫是逐步螺旋上升的，初中后就要逐步規范數學語言，形成更強的數學邏輯思維！

TeacherLong：受知識基礎的制約，初中階段學生認識的角主要是小于平角的，這達不到方位角的要求，因此才產生方向角的補充概念，真相是這樣嗎？

TeacherFen：我們使用的教材也在逐步完善，現在的忽略是為了降低學生的認知負荷，但教師還是應該弄清楚真相.

…………

裴光亞老師在《數學教師的特有語言與個性特征》一文中指出，在中學數學教學中，我們常對一些概念“不做嚴格的定義”，或者“避免抽象地對它們下定義”.為了有效實現課程目標，我們必須正視教學中的課程內容與學生經驗的矛盾，當學生的理解力不適應數學的抽象性時，我們應該怎么辦？如果我們無視矛盾的存在，學生失去的將不僅僅是對相關內容的理解，還有對數學的感受、學習數學的愿望，同時失去了達成各種目標的可能性，這是非?？膳碌模窃谶@樣的兩難選擇中，我們站在了人本立場上，維護學生的天性，而暫時犧牲數學的抽象性.