例談分類討論數學思想方法的教學策略

☉安徽省銅陵市第八中學 潘楷佳

當前，如何通過課堂教學培養學生的數學學科核心素養，是各地教師學習與研究的首要任務.羅增儒說：“數學學科核心素養是數學思想中的DNA”.也就是說，數學思想是數學學科核心素養的表現形式，它們都具有持續性、可遷移性，對數學課堂教學具有導向性作用.在《義務教育數學課程標準（2011年版）》中，專門用一個自然段表述了數學中的分類思想，強調對事物共同特性的抽象、分類思想的感悟和經驗積累.各地對分類討論思想的研究一直沒有停止過，在分類意識、分類標準、分類原則方法、教學建議等方面都有理論上的思考，但缺少課堂案例研究的文獻.本文從新知學習、習題教學、專題教學課堂實踐的幾個片段出發，談談分類討論數學思想方法的一些教學策略，供研討.

一、分類討論數學思想要在探究中滲透

分類思想體現在一個事物的幾個方面，分類后要求對有著共性的這幾個方面進行討論.學生對分類思想要慢慢感悟才能領會，要靠教師在課堂教學中不斷滲透，才會有經驗積累，直至自覺運用.這與人類認識事物的規律是一致的.

案例1：人教版數學教材第27.2節第1課時“平行線分線段成比例的基本事實及其推論”.

師：大家先分成4個大組，分別探究下列4個問題，再合作交流.探究如下：

探究：如圖1，任意畫兩條直線a、b，再畫三條與a、b都相交的平行線l1、l2、l3.分別度量l1、l2、l3在直線a上截得的線段AB、BC的長度和在直線b上截得的線段DE、EF的長度，各組分別借助計算器求下列比值：.它們相等嗎？平移直線l3的位置，它們還相等嗎？

在學生分組驗證合作交流后，知道直線a、b上被截下的4條線段，只要它們的位置是對應的，就都成比例.但這還不足以突出這個基本事實的內在聯系，又因該結論的證明較難，所以要再次驗證，以抓住本質.

圖1

師：這4條對應線段成比例的本質條件是什么？如何探究？請看幾何畫板.

追問1：如果改變這些平行線之間的距離，它們的比值還相等嗎？

追問2：如果改變直線a、b的位置，它們的比值還相等嗎？

追 問3：如果使l1、l2、l3不平行，它們的比值還相等嗎？

生1：我發現，對應線段成比例，與直線a、b的位置無關.

生2：我發現，對應線段成比例，與平行線l1、l2、l3之間的距離無關.

生3：我發現，只要保持l1∥l2∥l3這一關系，對應線段就都成比例.

師：很好！事實上，三條平行線之間的對應線段成比例的本質條件就是這組直線的平行關系.如何歸納這個事實呢？

生4：兩條直線被三條平行線所截，所得對應線段成比例.

師：這個結論叫“平行線分線段成比例的基本事實”.這里用幾何畫板驗證時以改變不同直線位置關系為標準，進行了分類探究，體現了數學上的分類思想.

反思：本案例用幾何畫板的功能觀察對應線段比值大小與直線的位置、平行線之間的距離、直線的平行關系中哪些有本質聯系，這就是分類討論；學生分組探究不同對應線段的比值關系也是分類討論，都滲透著分類思想.事實上，人教版初中數學教材中比較典型的分類問題有100多個，如一個數的平方根、特殊到一般地獲得拋物線的性質、圓周角定理的證明等.同時，學生的課堂活動也充滿了分類.學生在做數學時具有偶然性、特殊性，分別代表了不同的類，需要教師幫助學生歸類和分類，獲得數學知識.因此，教師借助多媒體工具，引導學生在探究新知的過程中進行滲透與顯化是數學思想教學的一種有效策略，能促進學生感悟分類等數學思想.精心設計問題，引導學生合理分類討論，有助于培養學生發現問題、解決問題的能力，可以促進學生的認知形成，積累分類等數學活動經驗.

二、分類討論數學思想要在比較中感悟

在遇到分類的問題時，要把一個問題分為幾類，并進行比較和反思，再分門別類地一一討論.所以比較是分類討論的前提，有比較才有鑒別.

案例2：比較a與的大小.

師：很好！在大小比較的問題中，先判斷相等的條件是關鍵.當a≠±1時，a與就不相等了，此時按照a的值的大小應當分為幾類呢？

生2：可以借助數軸發現，分為4類：a＜-1，-1＜a＜0，0＜a＜1，a＞1.

生3：不對，漏了a=±1這類了，應分為5類.

生4：我分別根據a的大小范圍取值驗算過，分為4類：①當a=0時，不存在；②當a=±1時，相等；③當-1＜a＜0和a＞1時，；④當a＜-1和0＜a＜1時，

師：這名同學考慮到不同的結果，把a的取值分為4類，其中a=0這類要不要？

生5：要，因為問題中沒有說明a≠0.

師：對.在沒有任何說明的情況下，字母a的取值要有連續性，保證分類不重、不漏，所以分出a=0這類是分類的需要，而當a=0時不能比大小是分類后討論的結果.

說明：這個案例是筆者進行“分類討論數學思想方法掌握情況的質量跟蹤調查”之后，反饋到課堂上的問題之一，是數與代數知識的一類調查，蘊含分類思想、字母表示數的思想和特殊與一般的辨證關系，是數學中最抽象的問題之一.從調查的結果看，初一學生的正確率是29%，初二學生的正確率是42%，初三學生的正確率是81%.初三學生的數感、符號意識明顯好于低年級學生.

反思：從本例調查和課堂討論中可以發現：學生對分類討論數學思想的感悟與其數學活動經驗、認知基礎、思維能力正相關，與教師的滲透、點撥、有意識引導密切相關.教學中要引導學生制定合理的分類標準，比較分類過程中的連續性，排除分類過程中的等價類和無效類.如本題中a=0就是無效類；拋物線的頂點不在自變量取值范圍內時，頂點的縱坐標就不是最值，要排除；螞蟻從正方體一個頂點沿著表面爬行到其對角頂點去，雖有6條路徑，但屬于等價類，最短路徑只有一種.所以分類時的比較是很有必要的，通過比較，可促進學生形成反思意識，提升學生的抽象思維能力，培養思維的縝密性和批評性，優化學生的思維品質.

三、分類討論數學思想要在點撥中領會

分類思想的上位思想是集合與對應思想（不重、不漏）、辨證思想、轉換與化歸思想.在解決數學問題的過程中，分類思想又往往與其他思想方法共存，且分類后的討論是問題求解的過程，與其他知識的關聯度大.因此需要分類討論的問題一般有一定的綜合性，需要教師在課堂交流中點撥.在一次專題復習課上，筆者選用了一道中考題進行分類思想的教學，課堂上引發了許多積極的思考和爭論.

案例3：（2018年安徽）如圖2，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點P在矩形ABCD的內部，點E在邊BC上，滿足△PBE△DBC，若△APD是等腰三角形，則PE的長為___________.

師：請同學們仔細審題與思考，題目說點P在矩形內，圖形中點P在對角線BD上，能否確定點P的位置？

師：很好！如果這一步不寫，那么后面的推理就不符合邏輯了.根據已知長度，可以求出哪些線段的長度？又怎么求PE的長度？

生2：可得出BD=10.再根據相似三角形的性質知道，要先求出BP或PD的長度才行.

師：接下來，要用“△APD是等腰三角形”這個條件了，可哪兩邊是相等的腰呢？

生3：因為這個等腰三角形的腰和底邊不明確，所以要分類，根據邊長關系可分為兩類：①AD=DP；②AP=DP.再分別求解.

師：分類時要考慮到各種情況，不重、不漏地分類.AP=AD也是一類，為什么沒有呢？

生3：AP不可能等于AD.

師：為什么？怎么解釋？

生4：根據垂線段最短得知：斜線段越來越長，所以AP＜AD.

生5：在Rt△ABD中，BD是斜邊，最大，所以AP＜AD.（師單獨畫出Rt△ABD和AP）

生6：我覺得他們的解釋不對.如圖3，作AO⊥BD于點O，點P在OD上，根據勾股定理得.又OP＜OD，所以AP＜AD.

師：很好！能夠想到勾股定理進行計算分析，大家聽明白了嗎？

生7：如果點P在OB上，怎么知道OP＜OD的？

至此，學生陷入了一片茫然，都不知道怎么解釋AP＜AD，需要點撥.

師：既然點P可能在OD上，也可能在OB上，也就是說，點P的位置不確定，請大家思考，當我們遇到不確定的問題時，要怎么辦？

生8：分類.

師：對.分類后怎么討論OP和OD的大小呢？

師：同學們可在課外進一步思考“如何說明AP與AD的大小”.這里要注意的是，根據分類不重、不漏的原則，AP=AD也是一類，要寫出來.因為這種情況不成立，所以只需要說明一下再否定它，不必證明.接下來請大家分別求出PE的長度.

生10：老師，當AP=PD時，AP是不是等于5啊？

師：這個問題還是交給大家討論吧！

生11：矩形中，只有對角線互相平分才有AP=PD，所以AP=5.

生12：不對.可以作PF⊥AD于點F，點F是AD的中點，PF是△ABD的中位線，所以點P是BD的中點，AP=5，進一步可得

生13：還可以換一種解釋：當AP=PD時，∠PAD=∠PDA，根據互余關系，可得∠PAB=∠PBA，再根據等角對等邊得AP=BP=PD=5，所以PE=3或PE=1.2.

師：同學們能夠大膽說出自己的不同思考，難能可貴！今后如果遇到不確定的問題時，要學會分類討論，這是這個題目帶給我們的經驗.

反思：沒想到這個中考題的教學牽涉出這么多知識點的復習，調動了全班學生數學探究的積極性，關注到分類誘因、分類方法的理解.雖然耗時較長，但促進了學生數學素養的培養.其中說明點P在BD上是前提，學生容易忽略這步推理，分類時不寫AP=AD是易錯點，思考AP＜AD是難點，課堂交流與點撥是突破難點的一種策略.事實上，點P是BD上的動點，AB=6，AD=8，又因為點P在矩形內，所以點P在以A為圓心、AB為半徑和AD為半徑的圓環之間，一定有AB＜AP＜AD.

大多數學生容易形式化地審題，如有學生說點P在OD上，遇到分類問題時嫌麻煩，而且分類后綜合解決問題的能力也不足.因此在課堂交流中適當點撥和及時鼓勵，可提升學生解答分類討論題的興趣，有效關聯復習數學知識，強化認知結構.

四、教學感悟

從這幾個案例中，可以看到分類思想的教學策略取決于教學材料，不能千篇一律，內容決定形式，且分類時要注意不重、不漏的原則.由于學生對數學思想方法的感悟有一個螺旋上升的過程，所以分類思想的教學也要遵循教學規律，教學生學會思考是目標.其中：

1.分類問題大多有分類誘因

案例1中直線位置與比值大小關系具有隱蔽性.案例2中字母a的值到底要分為幾類具有抽象性.因此課堂教學中要借助多媒體工具，用探究、比較和點撥等策略，幫助學生逐步感悟和領會分類討論的數學思想方法.其中針對學生情況設置有效的問題驅動是引導的關鍵，要防止思維定式.還要積極引導學生識別、歸納常見分類問題等.

2.分類討論的過程要有一定的綜合性

如案例3中AP與AD的大小比較、AP=PD時的值都是分類中必須考慮的邏輯推理和數學運算問題.教師要注意積極評價和鼓勵，既提升興趣，又解決問題，有利于學生對思想的領悟和數學素養的培養.

3.分類討論問題的教學要有定期專題

一般一個學期安排兩節復習課.專題復習課的材料可選中考題、教材題，也可選開放題、改編題，還可選學生的錯例和生活趣題等.例題教學要循序漸進，難題會讓學生望而生畏的.還要有梯度的課后訓練，讓學生用相同或相近的方法做事，是深刻理解數學思想方法，積累數學活動經驗的有效途徑.必須注意專題教學在于專，要專于分類，專于討論.