在數學教學中滲透數學思想

☉江蘇省蘇州市吳中區碧波中學 朱方政

數學思想是數學知識的重要組成部分，是數學的靈魂，是數學的精髓.初中數學知識中蘊含很多數學思想，如轉化思想、數形結合思想、分類討論思想、類比思想、方程思想、整體思想、估算思想等.教材中雖然沒有明確提出這些數學思想，但通過每章小結等形式向學生滲透這些數學思想.數學思想不同于數學知識，它來源于數學知識而又高于數學知識，常常滲透在數學知識之中，是指導我們解決數學問題的根本策略.在教學時，要注意有意識地向學生滲透數學思想.那么，應該怎樣向學生滲透數學思想呢？下面結合自身教學實踐，從三個方面說明.

一、在課堂引入時滲透數學思想

初中數學中的每個章節都滲透有數學思想.不過有的章節滲透的數學思想比較明顯，有的則比較隱含.對于那些明顯滲透數學思想的教學內容，可以在引入時滲透數學思想.比如，在教學分式的基本性質時，在引入時可以先設計下面的問題：

題1：把下面的分數化為最簡分數：

題2：填空：

題3：判斷下面的算式是否正確：

題4：把和化成分母是10而大小不變的分數，則

題5：對于任意一個分數，當c≠0時，可以猜想（填“=”或“≠”）.

題6：分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或者除以相同的數（ ），分數的大小（ ）.類比分數的基本性質，可以猜想分式的基本性質為：___________，用式子可以表示為___________.

通過這樣的引入，很自然地向學生滲透了一種數學思想：類比思想.將分式與分數進行類比，從分數的基本性質自然過渡到分式的基本性質，過渡非常自然，學生易于接受分式的基本性質，同時便于學生切實感悟類比思想.

二、在復習小結中滲透數學思想

在章節小結、復習的數學教學中，由于涉及的知識點較多，知識容量較大，蘊含的數學思想也較多，在教學時要盡可能把那些比較典型的數學思想有意識地向學生滲透，幫助學生掌握章節知識，厘清知識之間的關系.

例如，在復習“平行四邊形”一章時，四邊形之間的關系如圖1所示：

圖1

可以向學生提出這些問題：

問題1：如何判定一個四邊形是平行四邊形？（①兩組對邊分別平行；②兩組對邊分別相等；③一組對邊平行且相等；④兩組對角分別相等，滿足①②③④中的任意一個選項，這樣的四邊形就是平行四邊形，向學生滲透從一般到特殊的思想）

問題2：特殊平行四邊形包括哪些四邊形？（矩形、菱形和正方形，向學生滲透分類思想）

問題3：證明一個四邊形是菱形時，可以先證這個四邊形是平行四邊形，然后證明這個四邊形有一組鄰邊相等或對角線互相垂直或對角線平分一組對角；證明一個四邊形是矩形時，可以先證這個四邊形是平行四邊形，然后證明這個四邊形有一個角是直角或對角線相等，向學生滲透轉化思想.

問題4：正方形既是矩形又是菱形，兼具矩形和菱形的性質，在證明一個四邊形是正方形時，可以先證明這個四邊形是矩形，然后證明這個矩形有一組鄰邊相等或對角線互相垂直或對角線平分一組對角，也就是證明這個矩形是菱形；也可以先證明這個四邊形是菱形，然后證明這個菱形有一個角是直角或對角線相等，也就是證明這個菱形是矩形，向學生滲透轉化思想.

通過提出這些問題，向學生滲透分類思想、轉化思想、從一般到特殊的思想等，同時有利于厘清平行四邊形、矩形、菱形和正方形之間的關系.

三、在解題教學中滲透數學思想

在教學中向學生滲透數學思想，一個最重要的目的是讓學生在數學思想的指導下，能夠利用這些數學思想幫助他們分析和解決問題，畢竟數學思想有“指路明燈”的作用.為此，在解題教學中，我們應該有意識地設計一些與滲透的思想有關的數學問題，讓學生“現學現用”“活學活用”.

初中階段我們學習了函數，而函數圖像是數形結合的重要工具，利用函數圖像解決問題是數形結合思想的重要體現.學習了一次函數的知識后，我們知道二元一次方程組的解可以看作二元一次方程組中的兩個方程對應的兩個一次函數圖像的交點的坐標，教材中涉及一次函數的內容有對應的例題，在講完該例題后，為了進一步向學生滲透數形結合的思想，我“趁熱打鐵”，給學生布置了如下一道練習題：

如圖2，在長方形ABCD中，點E是線段AB靠近點A的一個四等分點，AB=4，BC=8，連接DE，交對角線AC于點M.求△AEM的面積.

圖2

圖3

要求△AEM的面積，根據已知條件，只需求出AE邊上的高就行了，如果學習了相似三角形的知識，求AE邊上的高就是“小菜一碟”，但相似三角形屬于九年級的知識，因此該題對于還未學習相似知識的八年級學生來說，肯定具有一定的挑戰性，當然這也正是我設計此題的動機所在——向學生滲透數形結合思想，讓學生利用函數知識解答此題.經過思考，還真有不少學生解出了該題.他們以點A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立了如圖3所示的平面直角坐標系.這樣可以立即得到A、B、C、D四點的坐標，利用待定系數法求出直線AC的解析式y=2x，直線DE的解析式y=-8x+8.聯立兩直線的解析式，便可求出點M的坐標，也就可以得到△AEM的邊AE上的高，也就可以求出△AEM的面積.這些學生能夠想到利用函數圖像解答，說明他們對數形結合思想有一定的感悟和理解，同時達到了向學生滲透數形結合思想的目的.

再如，轉化思想是解決三元一次方程組問題的主要思想（化三元為二元，化二元為一元）.學習了三元一次方程組的知識后，為了向學生滲透轉化思想，我有意布置了如下一個實際問題：某水上公園有大、中、小三種型號的游船.5艘大型游船、3艘中型游船、1艘小型游船一次最多可以載乘客152人；7艘大型游船、4艘中型游船、1艘小型游船一次最多可以載乘客207人.你能算出1艘大型游船、1艘中型游船、1艘小型游船一次最多可以載乘客多少人嗎？

解答此題首先應設1艘大型游船、1艘中型游船、1艘小型游船一次最多可以載乘客的人數分別為x、y、z，根據題意列方程組，得接下來就是要求出x+y+z的值.由于只有兩個方程卻有三個未知數，顯然無法求出每個未知數的具體值，一些學生分析至此思維會受阻.由于我在講解三元一次方程組知識時經常向學生滲透轉化思想，因而有不少學生想到將原方程組轉化為三元一次方程組，如視z（x或y）為常數，原方程組可以轉化為這樣x、y都用含z的字母表示，可以順利求出x+y+z的值.

作為數學教師，向學生傳授數學知識固然重要，在教學過程中適時向學生滲透數學思想也是非常重要的一個環節.數學知識是基礎，數學思想是引導.在今后的教學中，我將更加注重對學生進行數學思想的滲透，提高學生分析問題和解決問題的能力，從而提高學生的數學素養.