參考答案略粗放，推理計算實集約
——基于2018年中考宜昌數(shù)學(xué)卷第24題參考答案的思考

☉湖北省姊歸縣教育科研信息中心 何訓(xùn)光

☉湖北省姊歸縣歸州鎮(zhèn)初級中學(xué) 葉先玖

2018年中考數(shù)學(xué)宜昌卷第24題，整合了初中階段的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，守住《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》的底線，題不超標，解卻有道，直擊數(shù)學(xué)學(xué)習的靈魂.解答這道題，會自覺地對題中蘊含的基本數(shù)學(xué)思想和方法進行吸收和內(nèi)化，會獲得真正受益終身的寶貴財富.下面就此題的解法探究、筆者的思考和獲得的啟示等方面做一全面分析，以期得到專家和學(xué)者的指點和幫助.

一、原題呈現(xiàn)

圖1

題目：如圖1，在平面直角坐標系中，矩形OADB的頂點A、B的坐標分別為（-6，0）、（0，4），過點C（-6，1）的雙曲線y=（k≠0）與矩形OADB的邊BD交于點E.

（1）填空：OA=___________，k=___________，點E的坐標為___________.

③當點F和點P隨著t的變化同時向上運動時，求t的取值范圍，并求在運動過程中直線MN在四邊形OAEB中掃過的面積.

二、試題賞析

試題聚焦核心素養(yǎng)，注重通性、通法，立意新穎、巧妙，富含數(shù)學(xué)思維，解法思路多樣，具有一定的創(chuàng)新性、前瞻性和導(dǎo)向性，導(dǎo)向明確，思維求活，育人求實.

在考查方向上，注重體現(xiàn)核心基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的特點，突出對數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的考查.

在考查內(nèi)容上，傳承本地對含參函數(shù)問題的研究，延續(xù)定軸動區(qū)間或動軸定區(qū)間函數(shù)命題風格，側(cè)重于在平面直角坐標系內(nèi)綜合考慮點、直線、雙曲線、拋物線的運動變化及相對位置關(guān)系，考慮特定情形下的公共點、臨界點及面積情況，再充分借助幾何直觀，考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和直觀想象素養(yǎng).

在命題技術(shù)上，隱去不必要的圖形，設(shè)置合理坡度以搭建“腳手架”，體現(xiàn)命題者對考生的人文關(guān)懷，關(guān)聯(lián)通法與巧法，求實而不失科學(xué)、嚴謹，有層次地考查學(xué)生應(yīng)對復(fù)雜情境中工作的要求并成功開展工作的綜合能力及關(guān)鍵能力.

三、解法展示

1.命題教師給出的參考答案，以下簡稱“解法1”

解：（1）填空：OA=6，k=-6，點E的坐標為

（2）①設(shè)直線MN：y=k1x+b1.

當1≤t≤6時，yp隨著t的增大而增大，此時，當1≤t≤6時，隨著t的增大，點P在直線x=-1上向上運動.

當1≤t≤4時，yF隨著t的增大而增大，此時，隨著t的增大點F沿著y軸向上運動，則1≤t≤4.

當t=1時，直線MN：y=x+3與x軸交于點F（-3，0），與y軸交于點G（0，3）.

命題組發(fā)布試題評述時這樣表述道：“第24題側(cè)重于在平面直角坐標系內(nèi)綜合考慮點、直線、雙曲線、拋物線的運動變化及相對位置關(guān)系，考慮特定情形下的公共點、臨界點及面積情況，在充分借助幾何直觀的理解下，綜合考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和直觀想象素養(yǎng).”不難發(fā)現(xiàn)，命題組給出的參考答案，解法簡潔，力求多思少算，倡導(dǎo)多想少寫，不失人文關(guān)懷.但是，筆者在自行解答后，再與答案比對時，發(fā)現(xiàn)參考答案第（2）問②和③留下的思考空間似乎大了點.

2.參考答案中的部分困惑

對于第（2）問的②，參考答案借助運動變化觀念，進行直觀推理，臨界分析得出或時，拋物線與矩形OADB有且只有三個公共點.這個解答的結(jié)論完全正確，但筆者困惑的是：這種解法是否嚴謹？特定情形下的臨界分析，特情處理能否取代邏輯推理？要不要在解后進行驗算去進一步推理？有沒有基于課標要求學(xué)生能進行嚴謹推理的解法？

對于第（2）問的③“當t=1時，直線MN：y=x+3與x軸交于點F（-3，0），與y軸交于點G（0，3），當t=4-時，直線MN在四邊形AEBO中掃過的面積為”，顯然是在運動變化觀念下的臨界分析，但這里，如果不自行解答，為什么會出現(xiàn)？對于直線MN在四邊形OAEB中掃過的面積，其臨界點在什么地方，以及為什么會在這個地方？基于幾何直觀和割補法求MN掃過的面積，還有沒有其他不同的解法？

3.解法再探

圖2

下面呈現(xiàn)筆者一部分粗淺的思路，以期能解決上述解答困惑.

解法2：（2）①分別過點M、N作坐標軸的平行線，如圖2.由k的幾何意義及縱橫比，得再把點M或N的坐標代入y=x+b1，求出直線的解析式從而避開繁雜運算，后邊解答過程同解法1.

情形1：當拋物線過點B時，由對稱性知拋物線與BD有另一個交點（-2，4），則，解得.拋物線此時必與AD相交于點M.又點M的橫坐標為-6，則點M的縱坐標為0，此時點M在DA的延長線上.此時，令y=0，得x+4，解得x=2或x=-4，即拋物線與x軸有兩個交點為（2，0）或（-4，0），故此時拋物線與矩形有三個交點，如圖3，即點B（0，4）（-2，4）及（-4，0），故符合題意.

圖3

圖4

情形2：當P不過點B時，要使拋物線與矩形OADB有且只有三個公共點，則必定有點P在DB上，如圖4.由拋物線的對稱性，可知：拋物線右側(cè)必與線段BO相交，其左側(cè)必與線段AD相交或有一個交點在線段AO上，則=4，解得當時，有，拋物線與線段OB交于點，與線段DB交于點（-1，4），與線段AD交于點）.此時，令y=0，得，解，即拋物線與x軸有兩個交點，但這兩個交點有一個在線段AO上，故此時拋物線得與矩形有三個交點，即故符合題意.

③與解法1過程相同，可求得1≤t≤4.

對于直線MN掃過的面積，筆者猜測考生可能會得到以下五種不同解法：

解法1：當t=1時，直線MN的解析式為y=x+3，它與x軸交于點F（-3，0），與y軸交于點G（0，3）.

圖5

解法2：過點A且平行于直線MN的直線的解析式為y=x+6，設(shè)它與BD的交點為Q（-2，4），S=S梯形AOBQ-S△AEQ-

解法3：連接AB，同解法1證明時，直線MN落在四邊形AOBE外，所以當1≤t≤4時，直線MN在四邊形AEBO中掃過的面積

解法4：連接EF.

解法5：

四、教學(xué)啟示

筆者認為，面對思維跨度大的參考答案，或者面對那些要求直接寫出答案的中考壓軸題，命題者應(yīng)當智慧地帶來以下兩點教學(xué)啟示：

1.必須明確數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)容

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，說到底是立德樹人的落實，即利用數(shù)學(xué)文化、知識等素材，在傳承中發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能和價值，培養(yǎng)學(xué)生良好的品質(zhì)和習慣等；通過數(shù)學(xué)學(xué)科知識素養(yǎng)的學(xué)習與提升，形成用數(shù)學(xué)眼光處理問題的方法策略的素養(yǎng)和能力，學(xué)會交流、學(xué)會遵守規(guī)則、學(xué)會表達與合作，即“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語言表達世界”.

從以上解答分析可看出，跨度較大的解答背后，卻指向本地今后函數(shù)題的教學(xué)，應(yīng)當在數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識等方面用足力量，落細、落實初中生應(yīng)當具備的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

2.必須明確掌握必要的數(shù)學(xué)技巧

一是要學(xué)會畫一畫.要在解題過程中學(xué)會畫草圖.學(xué)會畫圖，可以給學(xué)生想象的空間，感悟解決問題的方法，厘清解決問題的思路，這從解法1、解法2中可以看出，補畫草圖，觀察直線MN與拋物線的運動變化趨勢，聯(lián)立解析式，著眼交軌法，從而采用臨界分析，進行特情處理，而這種解法正好是命題人文關(guān)懷給予答題者的暗示，與命題意圖相吻合.思維與嚴謹是數(shù)學(xué)學(xué)科必備的核心素養(yǎng)之一，也是本題給出的教學(xué)導(dǎo)向.教學(xué)時，直觀和想象不能取代計算與推理，推理與計算必須同行，補圖與驗算必須同進，直觀與想象必須并列，合情與嚴謹必須并存.否則，以形表數(shù)時，當出現(xiàn)思維定式導(dǎo)致畫圖分析不全面時，往往會出現(xiàn)錯解或漏解.

“邏輯推理是數(shù)學(xué)的命根子”“數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)的童子功”.推理與計算是初中數(shù)學(xué)的硬功.數(shù)學(xué)教學(xué)，素養(yǎng)優(yōu)先于模型，核心優(yōu)先于刷題.一味刷題，過度重視模型、套路、技巧而忽視思維是教學(xué)的一種硬傷.平時教學(xué)或備考，要不斷反復(fù)提示學(xué)生“手中有圖（畫草圖），眼中取勢（動態(tài)趨勢），心中明道（數(shù)學(xué)知識、思想和眼光），腦中優(yōu)術(shù)（解題方法與策略）”，確保“學(xué)生應(yīng)當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”.教學(xué)一定要“明確”，謹記在三個“防范”和三個“追問”中，尤其是在不脫離課程標準要求的情況下，盡可能做好初、高中數(shù)學(xué)的有效銜接，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習和發(fā)展奠基.